Probabilidad UNAD

INTRODUCCIÓN

A través de este trabajo veremos como el estudiante desarrolla de manera adecuada y creativa cada actividad descrita en el trabajo colaborativo No. 2 basándose en la unidad 2 “Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad” y a la vez para que el estudiante estudie cada tema de la unidad 2 antes mencionada para que fortalezca y construya su propio conocimiento porque lo podrá utilizar en otras materias relacionadas con la Probabilidad más adelante y también porque los podrá utilizar cuando ya sea un profesional en su vida laboral.

La finalidad de este trabajo es que el estudiante tenga muy claro los conceptos que se van a estudiar y que se pueda proyectar en la elaboración de los ejercicios propuestos en la guía del trabajo colaborativo No. 2.

De igual manera este trabajo busca que el estudiante desarrolle sus aptitudes para áreas de Matemáticas en especial Probabilidad el cual tiene un significativo desarrollo con el aporte que dé cada estudiante

En este segundo trabajo colaborativo, abordaremos las generalidades de los temas que componen los capítulos 4,5 y 6 de la segunda Unidad didáctica del curso de Probabilidad como son: Variable aleatoria discreta y continua, valor esperado y varianza, distribución binomial, distribución binomial, negativa y geométrica, distribución de Poisson, distribución hipergeométrica, distribución uniforme discreta y uniforme continua, distribución normal, distribución chi cuadrado y t de student.

DESARROLLO DE LOS TEMAS

VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X.

Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales.

Podemos decir también que una variable aleatoria es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Las distribuciones binomiales son las más útiles dentro de las distribuciones de probabilidad discreta. Estas permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados solo pueden ser que ocurra un evento o que no lo haga. Este tipo de experimento se denomina ensayo de Bernoulli. Sus dos resultados posibles son denotados por “éxito” y se define por p la probabilidad de un éxito, y “fracaso” en la cual su probabilidad es 1-p.

El experimento binomial es aquel que cumple:

Los ensayos son independientes.

Cada ensayo es del tipo Bernoulli.

La probabilidad de éxito es p y permanece constante.

La variable X, de un experimento binomial, que corresponde al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros p y n= 1,2,… y su función de probabilidad es:

Si denota la probabilidad del fracaso como q = 1 – p, la función de probabilidad binomial se simplifica de la siguiente manera:

En muchos casos es conveniente denotar la función de probabilidad binomial como b (x; p, n).

La función de distribución binomial acumulada se expresa como:

La media y la varianza de una variable aleatoria binomial dependen solo de los parámetros p y n. Y ellas se definen:

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL GEOMETRICA

Ahora consideramos una serie de ensayos Bernoulli con una probabilidad constante de éxitos p, donde el número de ensayos no es fijo, sino que se repiten hasta que se obtiene el primer “éxito”. Entonces, sea X el número de ensayos realizados hasta obtener un éxito, ella tiene una distribución geométrica con parámetro p y se expresa:

Tomando q = 1 - p y denotando la distribución geométrica como g(x; p), ella se simplifica de la siguiente manera:

La función de distribución geométrica acumulada se expresa como:

La media y la varianza de una variable aleatoria geométrica son:

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Diferente que la distribución geométrica en que la variable es el número de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer éxito, ahora deseamos conocer el número de ensayos hasta obtener r éxitos. En este caso la variable se denomina binomial negativa.

En la distribución binomial negativa o distribución de Pascal, la variable aleatoria X es el número de ensayos Bernoulli hasta que se tienen r éxitos, con una probabilidad constante p. Con parámetros p y r = 1, 2, 3,…

La función de distribución binomial negativa acumulada se expresa como:

La media y varianza de una variable aleatoria binomial negativa X con parámetros p y r son:

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

En la distribución binomial se veía que el muestreo se hacía con reemplazo,

Asegurando la independencia de los ensayos y la probabilidad constante.

Supóngase ahora que el muestreo es sin reemplazo, caso en el cual los ensayos no son independientes.

En teoría la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.

...