Problemas De Ley De Gauss

Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2•10-5/π C/m3.

Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r<5) y en el exterior (r>5) de la esfera cargada.

Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera.

Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss

∮E⋅dS=qε0   E=q4πε0r2 

Para r<5 cm

q=1.2⋅10−5π43πr3=1.6⋅10−5r3  E=144 000⋅r N/C

Para r>5 cm

q=1.2⋅10−5π43π(0.05)3=2⋅10−9  E=18/r2 N/C

Potencial

V=∫_0^∞▒〖E⋅dr〗 =∫144000 r⋅ dr + ∫18/r2⋅dr=540 V

Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4•10-6 C/m3.

Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.

Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo.

Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss

∮E⋅dS=qε0   E=q2πε0rL 

Para r<5 cm

q=4⋅10−6πr2L=4π⋅10−6r2L  E=72 000π⋅r N/C

Para r>5 cm

q=4⋅10−6π(0.05)2L=π⋅10−8L  E=180πr N/C

V0−V15=∫E⋅dr=∫72 000 π⋅r⋅dr + ∫180π/r⋅dr = 90π(1+2 ln(3)) V

Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de σ=2/π 10-9C/m2.

Calcular el módulo del campo eléctrico.

Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a 1 cm y 8 cm de la placa

∮E⋅dS=q/ε0   E=q/2Sε0 E=σ/2ε0=36 N/C

Diferencia de potencial:

V1−V8=∫E⋅dr=∫36 ⋅dr=2.52 V

Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de ρ=2 10-8 C/m3.

Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha placa.

Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa.

Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano

∮E⋅dS=2E⋅S ∮E⋅dS=qε0   E=q/2Sε0

E=ρdε0 = 7.2π N/C

E=ρx/ε0 = 720πx N/C

Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad de 4 10-5/π C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio cargada con -4•10-9 C.

Calcular el potencial del centro de la esfera conductora

Potencial de la esfera conductora:

V=∫E⋅dr=∫36/r2 dr +∫ (48⋅104 r − 48.96/r2)dr +∫11.04/r2 dr= −2448.

Dos cilindros

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