La Ley de Gauss

Ley de Gauss

Existe una relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada (conocida en ocasiones como superficie gaussiana) y la carga encerrada por la superficie. A esta relación se le conoce como Ley de Gauss, y es fundamental en el estudio de los campos eléctricos.

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0.

Matemáticamente:

[pic 1]

donde  8.85  10-12 C2 / N  m2[pic 2][pic 3][pic 4]

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodea a una carga puntual q está dada por la expresión anterior.

El flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada que rodea a ninguna carga es cero.

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.

Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.

Potencial electrostático

El potencial eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es una función escalar, éste se puede emplear para describir los fenómenos electrostáticos de manera más simplificada que si se confiara sólo en los conceptos de campo y fuerzas eléctricas.

La energía potencial por unidad de carga U / q0 es independiente del valor de q0, y tiene un valor único en cada punto en un campo eléctrico. La cantidad U / q0  recibe el nombre de potencial eléctrico (o simplemente el potencial) V. De este modo, el potencial eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es:

[pic 5]

El hecho de que la energía potencial sea una cantidad escalar significa que el potencial eléctrico es también una cantidad escalar SERWAY.

Equipotenciales y diferencia de potencial eléctrico

El potencial eléctrico puede representarse por medio de un diagrama dibujando líneas equipotenciales o en tres dimensiones. Una superficie equipotencial es aquella en la que todos los puntos están al mismo potencial. Esto es, las diferencias de potencial entre cualesquiera dos puntos sobre la superficie son cero, y no se requiere ningún trabajo para mover una carga de un punto a otro. Una conexión equipotencial es una conexión eléctrica destinada a conseguir que distintas partes de una instalación eléctrica tengan el mismo potencial eléctrico. La diferencia de potencial  entre cualesquiera dos puntos A y B en un campo eléctrico se define como el cambio en la energía potencial del sistema dividida por la carga de prueba q0:[pic 6]

[pic 7]

La diferencia de potencial no debe confundirse con la diferencia de energía potencial. La diferencia de potencial es proporcional al cambio de energía potencial. El potencial eléctrico es una característica escalar del campo eléctrico, independiente de las cargas que pueden ponerse en el campo.

El campo eléctrico como función del potencial electrostático

Los efectos de cualquier distribución de carga pueden describirse ya sea en términos del campo eléctrico o del potencial eléctrico. Además, hay una íntima conexión entre el potencial y el campo. En el caso de un campo eléctrico uniforme, cuya diferencia de potencial es  El trabajo efectuado por el campo eléctrico para mover una carga positiva q de a y b es:[pic 8]

[pic 9]

es negativo ( 0), ya que el punto a se encuentra a un potencial más alto (es positivo en relación con el punto b). Por tanto, el trabajo realizado es positivo. El trabajo realizado también se puede escribir como la fuerza multiplicada por la distancia y utilizar el hecho de que la fuerza sobre q es F = qF, donde E es el campo eléctrico uniforme. Así:[pic 10][pic 11]

[pic 12]

en la que d es la distancia (paralela a las líneas de campo) entre a y b. Podemos establecer estas dos expresiones para W, igualarlas y encontrar que  = , o bien:[pic 13][pic 14]

     (E uniforme)[pic 15]

El signo menos a la derecha indica que . Si despejamos E encontramos que . [pic 16][pic 17]

De acuerdo con esta ecuación podemos ver que las unidades de la intensidad de campo eléctrico pueden escribirse como volts por metro (V / m) o como newtons por coulomb (N / C).

Para tratar el caso general de un campo eléctrico no uniforme, se tiene que la relación entre la fuerza F y la energía potencial U debida a esa fuerza.

La diferencia entre la energía potencial entre cualesquiera dos puntos en el espacio, a y b, está dada por:

[pic 18]

donde  es un incremento infinitesimal del desplazamiento y la integral se toma a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio desde el punto a hasta el punto b. Para el caso eléctrico interesa más la diferencia de potencial, dada por la ecuación  que en la propia energía potencial. Asimismo, el campo eléctrico E en cualquier punto en el espacio se define como la fuerza por unidad de carga: . Sustituyendo estas dos relaciones en la ecuación anterior obtenemos:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

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