Ley De Gauss

Flujo De Campo Eléctrico

El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.

El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene resaltar que en el caso del campo eléctrico no hay nada material que realmente circule a través de dicha superficie.

Consideremos cierto campo vectorial E ⃗(r ⃗) en el espacio, y en ese espacio cierta superficie cerrada S arbitraria. Podemos definir el flujo E ⃗ a través de esa superficie como:

Φϵ=∫_S▒〖E ⃗*dS ⃗ 〗=∫▒EcosθdS

Se define el flujo eléctrico de un campo eléctrico como el producto de la magnitud del campo E por la superficie S; es decir:

Φϵ=ES

Si la unidad de SI de flujo eléctrico es 1 N*m^2/C

Observaciones:

Superficie de frente al campo eléctrico E ⃗ y S ⃗ el ángulo es θ=0, entonces el flujo Φϵ=E ⃗*S ⃗=ES.

Superficie inclinada respecto a la orientación de cara en un ángulo θ, el ángulo entre E ⃗ y S ⃗ es θ, entonces Φϵ=E ⃗*S ⃗=EScosθ.

La superficie presenta su borde al campo eléctrico E ⃗ y S ⃗ perpendiculares, el ángulo entre E ⃗ y S ⃗ es θ=90°, entonces el flujo Φϵ=E ⃗*S ⃗=EScos90°=0.

Podemos representar a dirección de un vector área S ⃗, mediante un vector unitario n ̂ perpendicular al área; S ⃗ perpendicular n ̂ significa normal, entonces: S ⃗=Sn ̂.

Si sucede, si el E ⃗ no es uniforme, sino que varia de un punto a otro en el área S, o si S es parte de una superficie curva; En tales casos se divide S en muchos elementos pequeños dS, cada una de los cuales tiene un vector unitario n ̂ perpendicular a él y un vector área dS ⃗=n ̂dS, se calcula el flujo eléctrico a través de cada elemento y se integran los resultados para obtener el flujo total, así:

Φϵ=∫_S▒〖E ⃗*dS ⃗ 〗definición de flujo eléctrico

A esto se le llama la integral de superficie de E ⃗*dS ⃗.

Ley De Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total de cualquier superficie cerrada(una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga eléctricatotal(neta)dentro de la superficie.

Φϵ=∮▒〖E ⃗*dS ⃗=q/E_o 〗

Esta ecuación es válida para una superficie de cualquier forma o tamaño, con la condición de que se trate de una superficiecerrada que encierra la cargaq.

Supóngase que la superficie encierra no sólo una carga puntual q, sino varias cargas q_1, q_2,… El campo eléctrico total (resultante) E ⃗ en cualquier punto es la suma vectorial de los campos E ⃗ de las cargas individuales. Sea Q_enc la carga total encerrada por la superficie: Q_enc=q_1+q_2+q_3…, sea además E ⃗ el campo total en la posesión del elemento de área superficial dS ⃗, y sea E_⊥ su componente perpendicular al plano de ese elemento (es decir, paralelo a dS ⃗). En estas condiciones se puede escribir la ecuación anterior con respecto a cada carga y su campo correspondientey sumar los resultados. Al hacerlo, se obtiene el enunciado general de la Ley de Gauss:

Φϵ=∮▒〖E ⃗*dS ⃗=Q_enc/E_o 〗

Ley de Gauss

El flujo total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta)presente en el interior de la superficie, dividida entreE_o.

Observaciones:

Hemos visto que hay una relación entre la cantidad de carga neta enel interior de una superficie cerrada y el flujo eléctrico a través de una superficie, hemoshallado que:

El hecho de que haya o no un flujo eléctrico saliente o entrante neto a través de unasuperficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.

Las cargas que están afuera de la superficie no proporcionan un flujo eléctrico netoa través de la superficie.

Aplicaciones Del Teorema De Gauss

Sea quna carga puntual situada en el centro de una esfera; el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie, es:

Φϵ=∮▒〖E ⃗]*dS ⃗ 〗

Φϵ=∮▒EcosθdS

Φϵ=∮▒〖EdS=ES〗

Sabiendo que S=4πr^2, superficie de la esfera, además E=kq/r^2, entonces se tiene:

=(k q/r^2 )(4πr^2 )

=q/(4πϵ_o r^2 ) (4πr^2 )

»Φϵ=q/ϵ_o (Nm^2/C)

•Para una carga q, que está en superficie cerrada arbitraria, el flujo, es:

Φϵ=∮▒〖E ⃗*dS ⃗=∮▒EcosθdS〗

Φϵ=∮▒〖k q/r^2 cosθdS〗

Φϵ=kq∮▒〖cosθ/r^2 dS〗

Sabiendo que: dΩ=cosθ/r^2 , entonces se tiene:

=kq∮▒dΩ

=kq(4π)

»Φϵ=q/E_o ((Nm^2)/C)

•Para una carga q, que está fuera de una superficie cerrada, el flujo, es:

Φϵ=∮▒〖E ⃗*dS ⃗ 〗

Φϵ=∫_(S_1)▒(E_1 ) ⃗ *d(S_1 ) ⃗+∫_(S_2)▒〖(E_2 ) ⃗*d(S_2 ) ⃗ 〗

Φ=∫_(S_1)▒〖E_1 cosαdS_1+∫_(S_2)▒〖E_2 cosθ_2 dS_2 〗〗

Si, α=π-θ_1, entonces:

Φϵ=∫_(S_1)▒〖E_1 cos(π-θ_1 )dS_1 〗+∫_(S_2)▒〖E_2 cosθ_2 dS_2 〗

=-∫_(S_1)▒〖E_1 cosθ_1 dS_1+∫_(S_2)▒〖E_2 cosθ_2 dS_2 〗〗

=-∫_(S_1)▒kq/r_(1^2 ) cosθ_1 dS_1+∫_(S_2)▒kq/r_(2^2 ) cosθ_2 dS_2

=-kq∫_(S_1)▒(cosθ_1 dS_1)/r_(1^2 ) +kq∫_(S_2)▒(cosθ_2 dS_2)/r_(2^2 )

=-kq∫_(S_1)▒〖dΩ_1+ kq∫_(S_2)▒〖dΩ_2 〗〗

» Φϵ=0

Ejercicios

Una varilla de longitud 2L, tiene una densidad de carga uniforme λ. Determine el campo eléctrico (por el método de Gauss) en el punto P a una distancia R a lo largo de la mediatriz.

La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.

Cálculo del campo eléctrico:

Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma E ⃗(r ⃗ )=E(R) R ̂ con R el radio de las coordenadas cilíndricas. La ley de Gauss nos dice:

Φϵ=∮▒〖E ⃗dS ⃗ 〗

=∫_(S_1)▒〖(E_1 ) ⃗d(S_1 ) ⃗+〗 ∫_(S_2)▒〖(E_2 ) ⃗d(S_2 ) ⃗+〗 ∫_(S_3)▒〖(E_3 ) ⃗d(S_3 ) ⃗ 〗

Por Simetría, la ∫_(S_1)▒〖(E_1 ) ⃗d(S_1 ) ⃗ 〗 y ∫_(S_2)▒〖(E_2 ) ⃗d(S_2 ) ⃗ 〗 se anulan, entonces se tiene:

∫_(S_3)▒〖(E_3 ) ⃗d(S_3 ) ⃗=E_3 ∫▒〖dS_3 〗〗

=E_3 S_3=E_3 (2πR)(2L)

Φϵ=4πRLE_3=Q/ϵ_o

E_3=Q/(4πRLϵ_o )=2k Q/2RL=2kλ/R

E=2λk/R R ̂

Determinar el campo

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