Progresiones aritméticas y geométricas

(PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS)

1) Esquema de la unidad

2) Introducción del tema

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

3) Contexto histórico:

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto.

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.

En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati , diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.

4) TEORÍA:

Progresiones

• Sucesiones: es un conjunto ordenado de números reales. Y existen 2 tipos de sucesiones:

- Sucesión decreciente: Es aquella en que cada término es menor que el anterior.

- Sucesión creciente: Es aquella en que cada término es mayor que el anterior.

• Termino general de una sucesión: El término general de una sucesión es el que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe An

En geometría

• Progresión geométrica: es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión.

• Termino general de una progresión geometrica: En una progresión geométrica cada término es igual al anterior por la razón.

• Suma de número de términos: es la suma de los numeros primeros términos de una progresión geométrica.

• Suma de todos los términos: es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

• Producto de números de términos: En una progresión geométrica el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de ellos.

En aritmética

• Progresión aritmética: es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.

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