Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números, tales que la diferencia entre dos consecutivos

cualesquiera de ellos es constante, por ejemplo, la sucesión de los números impares 1,3,5,... donde la

diferencia es 2. Los términos de una progresión aritmética se suelen denotar como a0, a1, a2,... (o con otra

letra). En general, si la diferencia entre dos términos cualesquiera de la progresión es d, podemos

escribirla también como a0, a0+d, a0+2d,..., pero hay veces que conviene “empezar por el medio”, tomar

un término que nos interese, y a partir de ahí escribir los demás. Por ejemplo, si el término a3 es especial

por alguna razón, o si simplemente nos conviene expresar los demás términos en función de éste para

facilitar los cálculos, podemos escribir la progresión como a3−3d, a3−2d, a3−d, a3, a3+d, a3+2d,...

Ejemplo: caracterizar todos los triángulos tales que sus lados están en progresión aritmética, y sus alturas

están también en progresión aritmética.

Suponemos sin pérdida de generalidad que las longitudes de los lados son a≥b≥c. Como el producto de

lado por altura es igual al doble del área, tendremos que aha=bhb=chc, siendo ha≤hb≤hc las alturas desde

los vértices opuestos a los lados de longitudes a≥b≥c, respectivamente. Digamos entonces que a=b+d,

c=b−d, y que ha=hb−D, hc=hb+D, donde d y D son las diferencias respectivas de las progresiones

aritméticas. Tenemos entonces que el doble del área es igual a

(b d )(h D) bh (b d )(h D) b b b + − = = − + , de donde bD dh Dd bD dh Dd b b − + − = 0 = − − .

Resulta entonces que ha de ser

= − = −( − ) = 0 b b Dd bD dh bD dh ,

y concluimos que d=D=0, es decir, el triángulo debe ser necesariamente equilátero. Además, todos los

triángulos equiláteros cumplen la condición del enunciado, pues sus lados están en progresión aritmética

de diferencia 0, y sus alturas también.

Suma de elementos de una progresión aritmética

La técnica para sumar los n primeros elementos de una progresión aritmética es muy útil y bastante

ingeniosa, y puede tener aplicaciones en otros ámbitos. Consiste en “repetir” la progresión pero en orden

inverso, e ir sumando uno a uno los términos de ambas progresiones:

0 a a + d 0 a 2d 0 + ... a (n 2)d 0 + − a (n 1)d 0 + −

a (n 1)d 0 + − a (n 2)d 0 + − a (n 3)d 0 + − ... a + d 0 0 a

2a (n 1)d 0 + − 2a (n 1)d 0 + − 2a (n 1)d 0 + − ... 2a (n 1)d 0 + − 2a (n 1)d 0 + −

Vemos entonces que dos veces la suma buscada es igual a la suma de n términos, iguales cada uno de

ellos a la suma del primero y del último. Es decir, la suma de n términos consecutivos de una progresión

aritmética es igual a la suma del primero y del último, multiplicada por el número de términos, y partido

por 2. Por ejemplo, usando la técnica anterior, la suma de los 100 primeros enteros positivos es

( )

5050

2

1 100 100 =

+

.

El famoso matemático Gauss descubrió este método por sí mismo ¡cuando estaba en primaria!

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números, tales que el cociente entre dos consecutivos

cualesquiera de ellos es constante, por ejemplo, la sucesión de las potencias de 3, es decir, 1,3,9,27,81,...

donde el cociente es 3. Los términos de una progresión geométrica se suelen denotar también como a0,

a1, a2,... (o con otra letra). En general, si el cociente entre dos términos cualesquiera de la progresión es r

(y se suele llamar la razón de la progresión geométrica) podemos escribirla también como a0, a0r, a0r2,

a0r3,..., pero al igual que con las progresiones aritméticas, hay veces que conviene “empezar por el

medio”, tomar un término que nos interese, y a partir de ahí escribir los demás. Por ejemplo, si

nuevamente el término a3 es especial por alguna razón, o si simplemente nos conviene expresar los demás

términos en función de éste para facilitar los cálculos, podemos escribir la progresión como a3/r3, a3/r2,

a3/r, a3, a3r, a3r2,...

Suma y producto de elementos de una progresión geométrica

El cálculo del producto de n elementos consecutivos de una progresión geométrica se transforma

fácilmente en el cálculo de la suma de n elementos consecutivos de una progresión aritmética, agrupando

los exponentes de la razón r:

( )

2

1

0

1 2 3 ... 1

0

1

0 1 1 0 0 0 ... ...

−

− + + + + −

− ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =

n n

n n n n

n a a a a a r a r a r a r .

La suma de elementos de una progresión geométrica se simplifica mucho con el uso de otra técnica,

también bastante ingeniosa y que puede ser muy útil en otros ámbitos. Consiste en multiplicar todos los

términos de la sucesión por r, y luego restar términos iguales dos a dos:

a r 0

2

0a r ... 1

0

a rn− a rn 0

0 − a a r 0 − 2

0− a r ... 1

0

− a rn−

0 − a 0 0 ... 0 a rn 0

Vemos entonces que r veces la suma que nos interesa, menos la suma que nos interesa, es igual a a0rn−a0:

1

... ... 1 0 1

0 1 1 0 0 0 −

−

+ + + = + + + − =

− r

a a a a a r a r a r

n

n

n .

División de ciertos polinomios a partir de sumas de progresiones geométricas

Sea una progresión geométrica con a0=1 y razón x. Claramente, los términos son 1, x, x2, x3,..., y la suma

de los n primeros términos es

1

1 2 ... 1 1

−

−

+ + + + − =

x

x x x x

n

n .

Nos encontramos

...