Progresiones aritmeticas

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Diferencia

d = an - an-1

Término general de una progresión aritmética

an = a1 + (n - 1) · d

an = ak + (n - k) · d

Interpolación de términos

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

[pic 1]

Suma de términos equidistantes

ai + aj = a1 + an

[pic 2]

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

Suma de n términos consecutivos

[pic 3]

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

[pic 4]

Término general de una progresión geométrica

an = a1 · rn-1

an = ak · rn-k

Interpolación de términos

[pic 5]

Suma de n términos consecutivos

[pic 6]

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

[pic 7]

Producto de dos términos equidistantes

ai . aj = a1 . an

[pic 8]

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

Producto de n términos equidistantes

[pic 9]

Ejercicios

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a 4 = 10;          a 6 = 16

 a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

[pic 10]

8,    3, -2, -7 ,    -12.

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a 1 = − 1;          a 15 = 27;      

a n = a 1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a1 + a4) · 4/2

a4= a1 + 3 · 25

360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30'      a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30'                a4 = 127º 30'

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

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