Progresiones Aritmeticas Y Geometricas

Introducción

En matemática existen conjuntos numéricos ordenados, cuyos elementos se obtienen mediante un patrón de formación característico, por ejemplo el conjunto {3, 1, 0, -1/2, -3/4} . Aquí se observa que cada elemento excepto el primero se obtiene restándole uno al termino anterior y dividiendo el resultado entre dos. El patrón de formación para los números de este conjunto seria A = ( n – 1 ) /2. Estos conjuntos numéricos reciben el nombre de sucesiones. El fin de este trabajo es llegar a conocer las progresiones aritméticas y geométricas y ver como las hemos estado usando hasta ahora en nuestro día a día.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al anterior más una cantidad constante que llamamos diferencia de la progresión, la representamos por d y la obtenemos restando del valor de un término cualquiera del anterior

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por

n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.

n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

de diferencia tenemos que:

…

sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos y ( )de la progresión anterior y pongámoslos en función de :

estando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia. Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ( )

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ( )

d<0: progresión

...