RE: GEOMETRIA

ÍNDICE GENERAL

Introducción VII

1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1

1.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6. Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 49

2.1. Funciones de variable real y valor vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4. Geometría de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. DIFERENCIABILIDAD 105

3.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.4. Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

iii

iv ÍNDICE GENERAL

4. INTEGRALES MULTIPLES 149

4.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2. Integral doble sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5. INTEGRALES DE LINEA 205

5.1. Integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.4. Trabajo, ‡ujo y circulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.5. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lìnea. . . . . . . . . . . 221

5.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6. INTEGRALES DE SUPERFICIE 241

6.1. Super…cies paramétrizadas y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.2. Integrales de super…cie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.3. Integrales de super…cie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A. Apendice 271

Afterword 273

Prefacio

v

vi ÍNDICE GENERAL

Introducción

vii

viii INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1

GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Es el mejor de los buenos

quien sabe que en esta vida

todo es cuestión de medida:

un poco más, algo menos...

A. MACHADO, CXXVI

"Proverbios y cantares", XII

1

2 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

En los cursos anteriores de cálculo se consideraron funciones de variable real y valor real,

o sea funciones de…nidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considera

funciones de…nidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicaciones

prácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano.

En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición para

poder iniciar un curso básico de cálculo para funciones de varias variables. La belleza y la

potencia del álgebra lineal se vera con mayor claridad

...