REGLA SE SIMPSON

. MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON

Una forma de obtener una aproximación adecuada de una integral es usar polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la función real.

El método de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir en un mayor número de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en lugar de una línea recta como en la Regla Trapezoidal.

Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f (a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva de grado tres, y así sucesivamente.

En la figura 1, se muestra la función que es una parábola que aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola que une los tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3. Por lo tanto las fórmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios se conocen como regla de Simpson.

Figura 1 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 1/3

En la figura 2, se muestra la función que describe una ecuación cúbica que aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica que une los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.

Figura 2 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8

1. Regla de Simpson 1/3

Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolación polinomial de segundo orden:

La función , es la interpolación polinomial de segundo orden. Esto se logra con el polinomio de Lagrange de segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

La función f2 es un polinomio de Lagrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.

Sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene:

A continuación haremos todo el análisis matemático para obtener el valor de la ecuación que es conocida como la regla de Simpson.

Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostración.

Para b hacemos la siguiente sustitución:

La expresión la sustituimos de la siguiente forma.

Y obtenemos lo siguiente:

Usando la expresión: u = x-a, para el cambio de variable:

En donde se obtiene:

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

La ecuación anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La especificación 1/3 se origina del hecho que h está dividida en tres intervalos.

Recordando que la expresión h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuación anterior de la siguiente manera.

(1.1)

Además se puede determinar que la ecuación anterior tiene un error asociado de:

La expresión anterior se puede expresar también así:

(1.2)

El término lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.

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