RESONANCIA DEPENDENCIA DE LA FRECUENCIA

RESONANCIA

DEPENDENCIA DE LA FRECUENCIA

Considerando una red en el estado senoidal a una frecuencia c.., O donde los elementos tienen la forma R e j.L + 1/jwC , la respuesta compleja en corriente y/o voltaje se obtiene con el cociente de dos determinantes, como se observa a continuación.

De la red, + R3 ÷j(Lr+L3)— j 1 ael = R2 4- R3 + iffi(L1-1- L3) j/ WC2 Z12 = -(R3 ia,L3) Supóngase que se desea conocer la respuesta J,

De la red.
()-Jlw[pic 1][pic 2][pic 3]

()-Jlw[pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Donde las Zr, son las impedancias propias y mutuas entre mallas:las cuales son función de las impedancias propias y mutuas de elementos,corno éstas son función de la frecuencia angular 0), para cada valor de o), st a), ro resultan diferentes valores de impedancias propias y mutuas de mallas, y como consecuencia se tendrán distintas respuestas en corriente, concluyendo que Ji = F ( = f(u). Similarmente en una red con elementos tipo paralelo, las admitancias propias y mutuas de nodos son función de las admitancias propias y mutuas de elementos, como estos son de la forma G+jci,C+1/ , entonces estas admitancias son función de la frecuencia angular, lo que demuestra que la respuesta en voltaje y/o corriente depende de la frecuencia angular, esto es lo que se conoce como dependencia de la frecuencia.

Mediante esta ecuación se indica a continuación .

        1º. Si alguna a es real, este será el valor de una frecuencia real que ser sustituido en la ecuación, hace cero la respues,

        2º. Si alguna b es real, será el valor de una frecuencia natural real que al ser sustituido en la ecuación, la respuesta se indetermina.

        3º. Si alguna b tiene parte  imaginaria suficientemente  pequeña, el valor obsoluto de la respuesta j1 sera muy grande

        4º. Similarmente si alguna aa tiene parte imaginaria pequeña, el valor absoluto de la respuesta será pequeño, el resultado es que para valores de frecuencias diferentes se obtiene respestas diferentes.

        Con respecto a la dependencia de la frecuencia, el fenómeno de la resonancia y antirresonancia es lo mas importante, y  se refiere a los valores máximos y minimos de la respuesta para ciertas frecuencias  comparadas  unas con otras, como se indico anteriormente.

Ua frecuencia angular real w 0 es llamada frecuencia angular de resonancia si el valor absoluto modulo de la respuesta, tiene una valor máximo para la  frecuencia angular, w.

        Una frecuencia angulare real w =0 es llamada frecuencia angular de antirresonancia si es el valor absoluto  o modulo de la respuesta tiene un valor minimo para la frecuencia angular w.

Por lo tanto, al habalr de reonacia o antirresonancia , debe indicarse con respcta a que función se determina w, para la función voltaje o para la función corriente, ya que para una puede ser una frecuencia de resonancia, mientras que pare  la otra función ser a una frecuencia de antiresonancia.

        Cunado la respuesta esta expresada como un cocinente.

Las frecuencias que se obtienen en esta forma, se llaman frecuencias angulares ordinarias extremas, que serán de resonancia o antirresonancia. Son frecuencias extremas porqué rnaternáticamente al derivar una función e igualada a cero, se determinan las raíces reales de la ecuación, dichas raíces son valores críticos de la variable, que al ser sustituidos dan el valor máximo y mínimo de la función. Para el fenómeno de la resonancia al derivar el valor absoluto de la función e igualarlo a cero, se obtienen valores de frecuencias angulares ordinarias extremas, las que al ser sustituidas en la ecuación original determinan si el valor de la función es máximo o mínimo. Al valor de la frecuencia que hace máximo el valor de la función, se le llama frecuencia angular ordinaria de resonancia ( o simplemente frecuencia de resonancia). Al valor de la frecuencia que hace mínimo el valor de la función, se le llama frecuencia angular ordinaria de antirresonancia ( o simplemente frecuencia de antirresonancia). Cuando la respuesta está en función de la variable compleja, la respuesta tiene la siguiente forma:

En cuyo caso las an son la raíces del polinomio Qs que al ser sustituidas en la ecuación hacen cero a la función.

Por esta razón alas raíces del polinonio del numerador se les llama, ceros de la función. Las b, son las raíces del polinomio PSI que al ser sustituidas hacen cero al polinomio, por lo tanto la función se indetermina.

Razón por lo que a las raíces del polinomio del denominador se les llama polos de la función, a estos valores de frecuencias an y bm reciben el nombre de frecuencias angulares singulares extremas y sus valores son importantes porque determinan valores extremos de la respuesta. El valor de la frecuencia angular que hace cero a la función, se le llama frecuencia angular singular de antirresonancia. El valor de la frecuencia angular que indetermina a la función, se le llama frecuencia angular singular de resonancia. Es importante el estudio de los circuitos resonantes debido a que tienen amplias aplicaciones en la electrónica, se les encuentra en los circuitos sintonizadores, en sistema de alarma, en el radar, sonar, etc; los circuitos más importantes son: a) Circuito RLC sede. b) Circuito RLC paralelo. c) Circuito RLC sede-paralelo.

 FRECUENCIA DE RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC SERIE.

Se observa que hay dos posibilidades para determinar la frecuencia de resonancia.

lo.- Que 01-1/0C = O 2o.- Que L.. +1/02C = O Se elimina la segunda posibilidad porque no hay frecuencias imaginarias. 02 = -1/LC De la la oL = 1/0C = 1 / VTE Este es el valor de la recuencia extrema, que al sustituirlo en la ecuación original determina si el valor de la función es máximo o mínimo, sustituyendo resulta: V.fr  1- Rti(L1,17,E-ff,c c)

Efectuando operaciones de lo que está dentro del paréntesis, L rL-E LC - LC = o ..Í17 C (JLC)C

Como la parte imaginaria es cero, el cociente es máximo. /ff Ampers R

Como resulta máximo el valor de la función corriente la frecuencia 0 corresponde a la frecuencia de resonancia, la que se indicará como 0o y está dada por: (21. = l lN/LE rad/seg 5-7

Este mismo resultado en algunos casos se obtiene observando cuando la respuesta es máxima o rnínima. Para el circuito propuesto, como la corriente esta dada por:

I =Ify 1[R+ j(aL-11 ae)] se observa que si el denominador es un valor mínimo, la corriente es máxima, y esto se cumple cuando la parte imaginaria es cero,si (uL —1 I coC) = O, . de esta ecuación se obtiene la frecuencia de resonancia . A frecuencia de resonancia, la parte imaginaria es cero, por lo tanto la reactancia inductiva es igual a la reactancia capacitiva ( XL = Xe ) y la impedancia que presenta el circuito es el valor de la resistencia ( Z = R) como a esta frecuencia la corriente es máxima, la resistencia es mínima, por lo que se dice que a vo el circuito presenta baja impedancia.

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