Razonamiento Matematico

SÉPTIMA SEMANA

TEORÍA DE CONJUNTOS

El propósito de este capítulo es el estudio de la teoría intuitiva de conjuntos. Para ello, es necesario aclarar prieto qué se entiende por conjunto.

IDEA DE CONJUNTO

El mundo en que vive el ser humano está rodeado de conjuntos: conjunto de utensilios de cocina, conjunto de muebles de una habitación, conjunto de libros de una biblioteca, conjunto de árboles.

En todos ellos se usa la palabra conjunto con un significado de colección de varios objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias.

NOTACIÓN

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, los cuales se encuentran encerrados entre llaves y separados por comas. A los conjuntos por lo general se les denota por alguna letra mayúscula.

Por ejemplo el conjunto A formado por los números primos menores que 20:

A={ 2;3;5;7;11;13; 17; 19}

RELACIÓN DE PERTENENCIA ([pic 1])

Si un objeto forma parte de un conjunto, se dice que dicho objeto pertenece al conjunto ([pic 2]).

Si un objeto no forma parte de un conjunto, decimos que dicho objeto no pertenece (∉) al conjunto.

Ejemplo:

A = {2; 4; 7; 8; 9; 1}

2[pic 3] A                5∉A

9[pic 4]A                1[pic 5]A

7[pic 6]A                12∉A

NOTA:

Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A.(Es decir número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el entero no negativo que nos indica la cantidad que elementos diferentes que tiene un conjunto y se denota como n(A).

Ejemplos:

 A={3} [pic 7]n(A)=1:A es un conjunto unitario

B={4;{2}}[pic 8]n(B)=2: B es un conjunto binario

C={a;c;e}[pic 9]n(C)=3:C es un conjunto ternario

D={2;4;6;2;8;4}[pic 10]n(D)= 4: D es un conjunto vacío o nulo

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

La representación gráfica de los conjuntos se realiza a través de regiones planas limitadas por curvas cerradas.

[pic 11]

                        [pic 12]

                                                                 Diagrama de

 Venn – Euler

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

1. Por Extensión, en forma tabular

Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombre explícitamente a cada uno de los elementos  que conforman el conjunto, permitiendo de esta manera saber cuántos elementos lo conforman.

[pic 13] 

[pic 14]

[pic 15]

1. Por Comprensión o en forma constructiva

Un conjunto queda determinado por comprensión cuando se indica una o más características de los elementos del conjunto.

[pic 16]

CONJUNTOS NOTABLES

Conjunto Vacío: Llamado también conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos.

Notación: A = ∅   o     A = {}

Conjunto Unitario: Llamado también SINGLETON, es aquel conjunto que tiene un sólo elemento.

Ejemplo:

A = {2}

Conjunto Universal: Es el conjunto referencial que sirve para el estudio de una situación particular.

Se representa por: U o Ω

Número de Subconjuntos

El número de subconjuntos es [pic 17], donde “n” representa el número de elementos del conjunto A.

# de subconjuntos de A =[pic 18]

# de subconjuntos propios de A =[pic 19]

Conjunto Potencia

Notación: P(A)

Se lee “Conjunto Potencia de A”

El P(A) es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A

[pic 20]

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNION (∪)

[pic 21]

A∪B = B∪A

1. INTERSECCION (∩)

[pic 22]

A∩B = B∩A

1. DIFERENCIA ( - )

[pic 23]

[pic 24]

Observación:

Definimos:

A Δ B  : Diferencia simétrica, tal que:

A Δ B  = (A∪B)-(A∩B)

A Δ B  = (A - B)∪(B - A)

1. COMPLEMENTO

Notación: A’ , AC, CA

[pic 25]

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

1. A – B = A ∩ B’
2. (A’)’ = A (Propiedad involutiva)

LEYES DE MORGAN

1. (A ∪ B)’= A’ ∩ B’
2. (A ∩ B)’= A’ ∪ B’

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si: [pic 26]

        Dar como respuesta el cardinal de A.

        A)4 B)5 C)6 D)7 E)8

1. Indicar el número de elementos del conjunto

[pic 27]

A)2 B)3 C)4 D)5 E)16

1. Dados los conjuntos A, B y C, subconjuntos del conjunto de los números naturales.

A = { 2x / x ∈N , x < 6}

B = { (y + 4) ÷ 2 / y ∈ A }

C = { (2m + 1) ÷ 3 / m ∈ B }

¿Cuántos elementos tiene ? (B-A)∩C

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

1. Calcular el cardinal de A si :

[pic 28]

A)5 B)4 C)3 D)2 E)1

1. Dado el siguiente conjunto :

A = { a; m; {m; n}; {m; a; p}}

Señale cual de las siguientes proposiciones es falsa

A)m∈{m;n}         B)a∈{m;a;p}         C){m}∈A

D){m;n}∈A         E){m;a;p}∈A

...