Relaciones, dominio y Rango

Relaciones, dominio y Rango

Dados los conjuntos A y B, se llama relación de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A x B.

Donde:

A: conjunto de partida        B: conjunto de llegada

Por lo general, cuando un elemento del conjunto de partida se relaciona con algún elemento del conjunto de llegada lo hace a través de una regla de compartimiento o llamada también regla de asignación.

Dominio de una relación: es el conjunto de todos los elementos del  conjunto de partida que se relacionan con algún elemento del conjunto de llegada.

Rango o recorrido de una relación: es el conjunto de todos los elementos del conjunto de llegadas que son “imagen” de algún elemento del conjunto de partida.

La grafica de una relación puede tener una de las siguientes características:

1. Estar representada por uno o mas puntos aislados:
2. Estar representado por una línea continua,
3. Estar representada por porciones del plano cartesiano.

Ejemplo 1.

Dados  A = { 1, 2, 3}          y         B ={1, 3, 5 }                Sea R: A → B / ( x , y ) ∈ R ↔ x < y

Encontrar:

1. Conjunto solución de R
2. Dominio y Rango de R
3. Representar R en el plano cartesiano.
4. Representar R en un diagrama de Venn

Solución:

Primero determinar A x B.

A x B = { ( 1, 1 ); ( 1, 3 ); ( 1, 5 ) ; ( 2, 1 ); ( 2, 3 ); ( 2, 5 ); ( 3, 1 ); ( 3, 3 ); ( 3, 5 ) }

1. Conjunto solución de R,

Si se sabe que x < y, entonces buscamos los pares ordenados que cumplen la condición.

R = { ( 1, 3 ); ( 1, 5 ) ; ( 2, 3 ); ( 2, 5 ); ( 3, 5 ) }

1. Dominio de R = { 1, 2, 3}

Rango de R = {3, 5 }

1. La relación en el plano cartesiano                d)  La relación en un diagrama de Venn

[pic 1]

Ejemplo 2.

Establecer el Dominio y Rango de las relaciones que se presentan a continuación:

 a)                                           b)                                                  c)        

1. Dominio de R ={x / –3 ≤ x ≤ 2 , x ∈ R}        Rango de R ={y/y = 1}   ( la recta pasa por  donde y es igual 1)

1. Dominio de R ={–3,–2, 0, 2, 3}                Rango de R ={–1, 0, 1, 2, 3}

1. Dominio de R = {x/x = 2 }                        Rango de R = {y / –1 ≤ y ≤ 3 , y ∈ R}

Ejemplo 3

Graficar la siguientes relaciones definidas en los números reales.

1. R1 = { (x , y ) / y = –x }  

Solución:

Tabulando

Ejemplo 4

Encontrar el dominio y rango de la relación  R = { ( x, y) ∈ R x R / y = x2 }

Solución:

El conjunto dado no puede expresarse por extensión ya que ambas componentes pertenecen a los reales. Si tabulamos nos damos cuenta que la x puede tomar cualquier valor real por lo tanto su dominio son los números reales, para conocer su rango se graficará la relación con la ayuda de algunos pares ordenados.