Resumen sobre Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

E0MAT2-S-01

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UNIVERSIDAD DE PIURA

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Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

Semestre 2011-I

Matemática II para Economía

Capítulo 1: Límite de Funciones

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1. LÍMITE DE FUNCIONES

1. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.

Una sucesión es conjunto de números escritos en un orden específico:

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El número [pic 7] se llama primer término, [pic 8], es el segundo término y en general [pic 9] es el        n–ésimo término. Ya que a todo número natural n le corresponde un número an, se puede definir una sucesión como una función.

1. Definición.

Una sucesión de números reales es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, y su rango es un subconjunto arbitrario del conjunto de los números reales.

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Notación. A una sucesión infinita [pic 11] representaremos por [pic 12].

Ejemplo.

1. La sucesión 1, 4, 9, 16, …, n2, … se escribe [pic 13]
2. Los cinco primeros términos de la sucesión [pic 14] son: –1, [pic 15], [pic 16], [pic 17] y [pic 18].

1. Sucesión acotada.

Una sucesión [pic 19] se dice acotada superiormente (respectivamente inferiormente) cuando existe [pic 20] tal que [pic 21] (respectivamente [pic 22]) para todo [pic 23]. Se dice que la sucesión es acotada cuando está acotada superior e inferiormente. Esto equivale a decir que existe [pic 24] tal que [pic 25]para [pic 26]

Si [pic 27] (respectivamente [pic 28]) [pic 29], c es llamado cota superior (respectivamente cota inferior).

Ejemplo. La sucesión [pic 30] es acotada.

1. Definición de límite de una sucesión.

Se dice que un número real L es el límite de la sucesión [pic 31] cuando para todo número real [pic 32]>0, dado arbitrariamente, se puede obtener [pic 33] tal que todos los términos an con índice [pic 34] cumplen la condición [pic 35]. Se escribe entonces

[pic 36]

Simbólicamente:

[pic 37]

Ejemplo. Ilustre la definición de límite de una sucesión para [pic 38], calculando valores n0 para [pic 39] y [pic 40].

Ejemplo. Demostrar [pic 41] 

1. Sucesión convergente.

Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, caso contrario la sucesión es divergente.

Ejemplo. Determinar si la sucesión [pic 42] es convergente o divergente.

1. Teorema.

Una sucesión no puede converger a dos límites diferentes.

1. Teorema.

Toda sucesión convergente es acotada.

1. Propiedades de los límites de sucesiones.

Sean [pic 43] y [pic 44] sucesiones convergentes y c una constante, entonces

1. [pic 45]
2. [pic 46]
3. [pic 47]
4. [pic 48]
5. [pic 49], si [pic 50]
6. [pic 51] (*)
7. [pic 52] (*)

(*) para funciones definidas

1. Expresiones indeterminadas. 

[pic 53], [pic 54], [pic 55], [pic 56], [pic 57], [pic 58], [pic 59]

1. Teorema

Si tenemos expresiones racionales polinómicas:

[pic 60]

Donde [pic 61] y [pic 62], dividiendo numerador y denominador por [pic 63], siendo [pic 64], se obtiene:

[pic 65]

1. Teorema del encaje.

Si [pic 66] y [pic 67], para todo n suficientemente grande entonces

[pic 68]

Observación. La siguiente desigualdad conocida como “Desigualdad de Bernoulli” será de gran utilidad para el uso del teorema del encaje.

[pic 69] se cumple [pic 70]

Ejemplo. Demostrar que [pic 71]

1. Teorema.

Si [pic 72] entonces [pic 73] y si [pic 74] entonces [pic 75]

Ejemplo. Calcular [pic 76] y [pic 77]

1. Sucesiones monótonas.

Una sucesión [pic 78] se llama monótona cuando se tiene [pic 79] para todo [pic 80], o bien [pic 81] para todo [pic 82]. En el primer caso se dice que [pic 83] es monótona creciente, y en el segundo caso que [pic 84] es monótona decreciente. En particular, si tenemos [pic 85] (respectivamente [pic 86]) para todo [pic 87] decimos que la sucesión es estrictamente creciente (respectivamente estrictamente decreciente).

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