Solución de una ecuación diferencial

Solución de una ecuación diferencial

Definición

Decimos que [pic 1] es una solución de la ecuación diferencial, en el intervalo [pic 2] si

[pic 3]

Para toda[pic 4]. Es decir, una solución, es una función [pic 5] definida en algún intervalo [pic 6] que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo[pic 7].

Ejemplo 
La función [pic 8] es solución de la ecuación diferencial ordinaria[pic 9] para toda[pic 10].

Derivando la función [pic 11] obtenemos que

[pic 12]

Ejemplo 
La función [pic 13] es solución de la ecuación diferencial [pic 14]para toda[pic 15].

Derivando la función [pic 16] y sustituyendo obtenemos que

[pic 17]

Ejemplo  
La función [pic 18] es una solución de la ecuación[pic 19].

Derivando implícitamente con respecto a [pic 20], obtenemos

[pic 21]

Derivando implícitamente de nuevo, para calcular la segunda derivada

[pic 22]

Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucióón esta dada en formas explícita o implícita. En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes.

Ejemplo  
La curva dada en forma paramétrica por

[pic 23]

es solución de la ecuación diferencial [pic 24].

Calculemos [pic 25]

[pic 26]

Sustituyendo

[pic 27]

Ejemplo  

La función

[pic 28]

es solución de la ecuación diferencial [pic 29].

Observe que para calcular [pic 30] debemos usar el teorema fundamental del cálculo1.2

[pic 31]

Sustituyendo

[pic 32]

Si la solución de una ecuación diferencial de orden [pic 33] tiene [pic 34] constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.

Ejemplo  

La familia de parábolas [pic 35] es la solución general de la ecuación diferencial [pic 36].

Derivando implícitamente

[pic 37]

Sustituyendo

[pic 38]

Ejercicios

1. Compruebe si expresión dada es solución de la ecuación diferencial. Donde sea adecuado suponga que [pic 39] y [pic 40] son constantes.

1. [pic 41] [pic 42]

1. [pic 43] [pic 44]

1. [pic 45] [pic 46]

1. [pic 47] [pic 48]

1. [pic 49] [pic 50]

1. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor o valores de [pic 51] de forma tal que [pic 52] sea una solución de la ecuación diferencial dada.

1. [pic 53]
2. [pic 54]
3. [pic 55]

1. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor o valores de [pic 56] de forma tal que [pic 57] sea una solución de la ecuación diferencial dada.

1. [pic 58]
2. [pic 59]

...