Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta
Enviado por a2ndy2 • 14 de Agosto de 2015 • Apuntes • 1.227 Palabras (5 Páginas) • 261 Visitas
4.7 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
Momentos y Centros de Masa |
Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta
[pic 1]
Sea [pic 2]la distancia dirigida ( quiere decir que es en el sentido habitual, si [pic 3]está a la derecha de [pic 4][pic 5]y si [pic 6]está a la izquierda de [pic 7][pic 8])
El momento de [pic 9]con respecto a [pic 10]está definido como [pic 11]o en general con [pic 12]masas [pic 13]y el centro de masa del sistema como
[pic 14]
Ejemplo 1: Si las masa son de 1,3,1,2,4 repectivamente y están localizadas en los puntos (1,0)
([pic 15] (-2,0) (-3,0) (-[pic 16] [pic 17]; este es el punto en que se
equilibraría el sistema si se sostuviera en ese punto con un alfiler esa recta que no
tiene peso y que tiene las masa así distribuídas
Si ahora se toman masas puntuales [pic 18]distribuidas en diferentes puntos del plano [pic 19]
[pic 20]
Momento con respecto al eje y = [pic 21] | ( porque [pic 22]es la abscisa del punto y por lo tanto la distancia dirigida al eje [pic 23]) |
Momento con respecto al eje x =[pic 24] | ( porque [pic 25]es la ordenada del punto y por lo tanto la distancia dirigida al eje [pic 26]) |
[pic 27]=[pic 28] [pic 29]= [pic 30]
( [pic 31]es sel centro de masa del sistema
Ejemplo 2: masas de 2,2,1,3,1,4 gramos están localizadas respectivamente en los puntos (1,1)
(2,3) (4,6) (-3,1) (-2,-2) (-4,-1) . Encontrar el centro de masa del sistema
[pic 32][pic 33]
[pic 34]
En el punto [pic 35]se encuentra localizado el centro de masa de este sistema.
Este sería el punto donde se equilibraría, sostenido por un alfiler, el sistema suponiendo que las masas están distribuidas sobre una lámina extremadamente delgada que no tiene peso.
CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA.
La región plana se va a tomar como una lámina bidimensional de densidad [pic 36]( en g/cm[pic 37] o kg/m[pic 38] o lb/p[pic 39] )
Si una región tiene un ejes de simetría, el centro de masa (si la densidad es uniforme ) estará sobre el o los ejes de simetría: Así un circulo tendrá su centro de masa en el centro que es el punto de intersección de los diámetros, un rectángulo en el punto de corte de sus diagonales, o en el punto de intersección de las rectas que bisectan sus lados.
[pic 40]
Sea la región plana limitada por la curva [pic 41], las rectas [pic 42], [pic 43]y el eje [pic 44].
Consideremos una partición del intervalo [pic 45]
Se toma [pic 46].
Consideremos el [pic 47]rectángulo. Este tiene como base [pic 48]y altura [pic 49].
El centro de masa de un rectángulo como ese está localizado en [pic 50]
El momento de un rectángulo con respecto al eje [pic 51]es | [pic 52] | [pic 53] | [pic 54]y |
el momento de un rectángulo con respecto al eje [pic 55]es | [pic 56] | [pic 57] | [pic 58] |
[pic 59] | [pic 60] |
Por lo tanto [pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]
Haciendo el razonamiento usual para cuando la norma de la partición tiende a [pic 65]y para tomar el
límite de cada una de las sumas
[pic 66][pic 67], [pic 68]cuando [pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
...