Tema | Cálculo

[pic 1]

Infinitésimos Equivalentes

Continuidad

Definición

 Se dice que f es continua en x0 si lim f(x)=f(x0) cuando x🡪x0

Ejemplos de funciones continuas

• Funciones polinómicas
• Funciones racionales donde no se anula el denominador
• Funciones exponenciales
• Funciones logarítmicas
• Funciones irracionales
• Funciones trigonométricas (sen,cos,arcsen,arccos)

Álgebra de funciones continuas

Si f y g son funciones continuas entonces:

• f±g es continua
• f·g es continua
• f/g es continua salvo cuando g=0
• f o g es continua

Teoremas fundamentales de continuidad

• Teorema de Balzamo: Si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b)<0 (f(a) y f(b) tienen signo distinto) entonces existe un valor cϵ(a,b) tal que f(c)=0

[pic 2]

   Útil para localizar raíces de determinadas ecuaciones. Por ejemplo:

(x3) + x – 1 = 0 ¿Hay raíces en [0,1]?

F(0)=-1

F(1)=1

Teorema de Balzamo-Weierstarss

Si f es continua en [a, b] entonces existen Xm, XM ϵ [a,b] tal que f(Xm)≤f(x)≤f(XM) para xϵ[a, b]

Este teorema indica la existencia de un máximo y un mínimo absoluto aunque no indica como calcularlos.

Tipos de discontinuidades

• Evitable: Existe lim f(x) cuando x🡪x0 pero no existe f(x0) o bien existe f(x0) pero no coincide con el valor del límite.
• De salto finito: Cuando existen los límites laterales, son finitos, pero no coinciden.
• De salto infinito: Cuando al menos uno de los límites laterales es ± ∞

Derivadas

Concepto de derivada. Interpretación geométrica y recta tangente.

Definición

 Se dice que f es derivable en x0 si existe el siguiente límite: f’(x0)=Lim h🡪0 [f(x0+h)-f(x0)]/h.

Si escribimos x=x0+h, como h🡪0 entonces x🡪x0 y obtenemos una definición equivalente a la anterior:

F’(x0)=Limx🡪x0 [f(x)-f(x0)]/x-x0

¿Qué significa el cálculo de f’(x0)?

La recta secante que pasa por (x0,f(x0)) y (x0+h,f(x0+h)) tiene pendiente

Y=mx+n

f(x0+h)-f(x0)=m f(x0+h)-mx0=m(h)

m= [f(x0+h)-f(x0)]/h [pic 3]

Como h🡪0 si vamos tomando valores x0+h🡪x0 y repetimos el cálculo de la recta secante, obtengo la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0,f(x0)) y por tanto Lim h🡪0 [f(x0+h)-f(x0)]/h es la pendiente de la gráfica f en (x0,f(x0)).

Definición

Si f es derivable en x0, entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (x0,f(x0)) es: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)

Teorema de continuidad-derivabilidad

Si f es derivable en x0🡪f es continua en x0

Álgebra de funciones derivables

Si f y g son funciones derivables y λϵR entonces f±g es derivable y (f+g)’(x)=f’(x)±g’(x)

F·g es derivable y (f·g)’(x)=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)

f/g es derivable y (f/g)’(x)=[f’(x)·g(x)-f(x)·g’(x)]/(g(x))2

fog es derivable y (fog)’(x)=f’(g(x))·g’(x)

f-1 es derivable y (f-1)’(x)=1/[(f’of-1)(x)]

λ·f es derivable y (λ·f)’(x)= λ·f’(x)

Derivación logarítmica

Queremos hallar la derivada de una función del tipo h(x)=f(x)g(x), para ello tomamos logaritmos en ambos miembros de la igualdad y operamos:

h(x)=f(x)g(x)

ln(h(x)) =ln(f(x)g(x)

ln(h(x)) =g(x)·ln(f(x))

h’(x)/h(x)=g’(x)·ln(f(x))+g(x)·f’(x)/f(x)

h’(x)=h(x)[g’(x)·ln(f(x))+g(x)·f’(x)/f(x)]

h’(x)=f(x)g(x)[g’(x)·ln(f(x))+g(x)·f’(x)/f(x)

Derivación implícita

Definición

Una función y(x) viene dada en forma implícita si viene expresada mediante la ecuación F (x, y(x)) =0

Para derivar una función implícita derivamos término a término usando la regla de la cadena.

Teoremas fundamentales de derivabilidad

Teorema de Rolle

Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y f(a)=f(b) entonces existe algún cϵ(a, b) tal que f’(c)=0

Este teorema indica que existe un punto en la gráfica de f cuya recta tangente es paralela al eje X.

...