Calculo diferencial tiene una amplia gama de temas interesantes

Introducción

Calculo diferencial tiene una amplia gama de temas interesantes a pesar de lo difícil que es sino entendemos desde el principio de que se viene tratando esta maravillosa parte de las matemáticas aplicadas.

 Lo más importante es recalcar en este formato  las derivadas que abarca tanto en funciones, formulas y reglas para poder resolverlas que nos permite calcular los puntos claves de una derivada, pero para eso debemos ver los pasos o reglas a seguir para así poder resolverlo sin problema alguno.

Los siguientes pasos nos dará a entenderlo mejor ya que contiene una explicación  muy detallada dentro de lo que viene siendo el procedimiento con pasos de manera concreta, hoy por hoy hay muchas formas de entender temas tan complicados y es gracias a el llamado wifi, que nosotros tenemos acceso a este tipo de material digitalizado listo para colaborar con ello.

Esperamos que este proyecto sirva una vez más para aclarar dudas en base a definiciones de libros específicos.

4.1 Conceptos de incremento de razón de cambio. La derivada de una función

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje [pic 1] de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo, si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

Razón de cambio

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante

4.2 La interpretación geométrica de la derivada 

Las derivadas pueden y de hecho son aplicadas para interpretar objetos geométricos, de estos se pueden sacar tangentes en base a las abscisas presentadas.

La derivada  de una función en un punto puede explicarse como la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Lo anterior nos permite utilizar la fórmula que a continuación les mostramos, la cual es utilizada para calcular la tangente a f(x) en el punto de abscisa x=a:

y – ƒ(a) = ƒ´(a) * (x-a)

Si alteramos la formula desplazando a f´(a) al denominador podemos obtener la recta normal (perpendicular)

[pic 2]

[pic 3]

Ejercicio de la interpretación geométrica de la derivada

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva ƒ(x) = x^2 + 2x – 1 en el punto  x = 2

La fórmula a utilizar (para el resultado) es: y – ƒ (2) = ƒ´ (2) * (x-2)

Paso 1: debemos analizar la ecuación del problema la cual es ƒ(x) = x^2 + 2x  y después tener presente que x = 2, una vez hecho esto se debe sustituir el valor de x en la ecuación de modo que nos deberá quedar de la siguiente manera:

Ƒ (2) = 2^2 + 2(2) -1 = 7

En la ecuación de arriba se muestra que se ha sustituido a x, el numero 7 es el resultado obtenido si se resolviera la ecuación, ya que 2 al cuadrado equivale a 4, 2(2) equivale a 4, estos 2 resultados sumados equivalen a 8 y por ultimo si le restamos 1 sería igual a 7.

Paso 2: Ahora debemos enfocarnos en  ƒ´ la cual se presenta como a continuación se muestra:

ƒ´(x) = 2x +2

No hay mucho pierde aquí, tal y como el primer paso se cambia x por si valor que es 2 y se resuelve la ecuación

ƒ´ (2) = 2(2) +2 = 6

Por tanto podemos decir que la ecuación es:

 Y – 7 = 6* (x-2)

Los que han llegado a este punto y no entienden como se sabe que ese es el resultado estarán pensando “pero que rayos paso, íbamos por pasos y luego salió de la manga”. Pues no, recuerdan la fórmula que debíamos utilizar para el resultado, ósea y – ƒ (2) = ƒ ´ (2) * (x-2), pues simplemente se utilizó y se sustituyeron en ella ƒ(2) y ƒ´(2) que son las que resolvimos en el paso 1 y 2.

De esta manera “y” queda tal cual está en la formula, el sigo negativo se mantiene, ƒ (2) es sustituida por el resultado encontrado el cual es 7, pasamos al signo de =, después se sustituye ƒ´ (2) por el resultado obtenido y el resto de la formula queda tal cual.

Por último y como siempre, te dejamos un apoyo visual para que puedas complementar la información que has leído en esta entrada (un muy buen vídeo que expone el tema de forma práctica).

4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

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