Calculo Diferencial

Calculo Diferencial

Limites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

El límite se utiliza para el cálculo infinitesimal o infinitésimo, que se puede definir como el cálculo de una cantidad infinitamente pequeña, en el que deben definirse estrictamente límites y considerarlos como números en la práctica. Se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.

Los limites sirven para poder averiguar si una función tiene discontinuidad en un tramo (ej:f(x)=1/x^2 es discontinua en x=0) o tiene algún cambio brusco en la pendiente de la curva de la función (ej: f(x)=IxI en x=0).

Métodos:

Método de izquierda a derecha:

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función

f(x) = x2 en el punto x0 = 2. x

X f(X)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

... ...

↓ ↓

2 4

x f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha (valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.

Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x2 es 4

Ejemplos:

1) f(x) = x2 + 1

Acercándose a 3 Acercándose a 3

por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)

2.99 9.994 3.001 10.006

2.9991 9.9946 3.0009 10.0054

2.9992 9.9952 3.0008 10.0048

2.9993 9.9958 3.0007 10.0042

2.9994 9.9964 3.0006 10.0036

2.9995 9.997 3.0005 10.003

2.9996 9.9976 3.0004 10.0024

2.9997 9.9982 3.0003 10.0018

2.9998 9.9988 3.0002 10.0012

2.9999 9.9994 3.0001 10.0006

Por lo Tanto:

Acercándose a 1 Acercándose a 1

por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)

0.999 2.997 1.001 3.003

0.9991 2.9973 1.0009 3.0027

0.9992 2.9976 1.0008 3.0024

0.9993 2.9979 1.0007 3.0021

0.9994 2.9982 1.0006 3.00179

.9995 2.9985 1.0005 3.0015

0.9996 2.9988 1.0004 3.0012

0.9997 2.9991 1.0003 3.00089

0.9998 2.9994 1.0002 3.0006

0.9999 2.9997 1.0001 3.0003

El límite es indeterminado y se emplea la factorización para quitar la indeterminación. Por lo tanto:

Acercándose a 0 Acercándose a 0

por la izquierda: por la derecha:

x

f(x) x f(x)

-0.001 -1 0.001 1

-0.0009 -1 0.0009 1

-0.0008 -1 0.0008 1

-0.0007 -1 0.0007 1

-0.0006 -1 0.0006 1

-0.0005 -1 0.0005 1

-0.0004 -1 0.0004 1

-0.0003 -1 0.0003 1

-0.0002 -1 0.0002 1

-0.0001 -1 0.0001 1

Como el límite cuando x se acerca por la izquierda es -1 y cuando se acerca por la derecha es 1, no son iguales, por lo tanto que el límite no existe.

Acercándose a 0 Acercándose a 0

por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)

-0.001 -0.82708 0.001 0.82708

-0.0009 0.848291 0.0009 -0.848291

-0.0008 0.346117 0.0008 -0.346117

-0.0007 -0.753712 0.0007 0.753712

-0.0006 -0.998629 0.0006 0.998629

-0.0005 -0.930278 0.0005 0.930278

-0.0004 0.649448 0.0004 -0.649448

-0.0003 0.104528 0.0003 -0.104528

-0.0002 0.987688 0.0002 -0.987688

-0.0001 0.309017 0.0001 -0.309017

5)

Acercándose a 1 Acercándose a 1

por la izquierda: por la derecha:

x f(x) x f(x)

0.999 3.001 1.001 3.00199

0.9991 3.0009 1.0009 3.00179

0.9992 3.0008 1.0008 3.00159

0.9993 3.0007 1.0007 3.00139

0.9994 3.0006 1.0006 3.00119

0.9995 3.0005 1.0005 3.00099

0.9996 3.0004 1.0004 3.00079

0.9997 3.0003 1.0003 3.00059

0.9998 3.0002 1.0002 3.00039

0.9999 3.0001 1.0001 3.00019

Método de Sustitución directa:

La evaluación de límites de funciones continuas de una sola variable es fácil. Se efectúa por sustitución directa porque la propiedad de definición de una función continua

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