Calculo Diferencial

Unidad 2 Funciones

Las funciones forman una parte integral del álgebra básica en las matemáticas.

Las funciones pueden ser consideradas como una idea que toma una o más de una variable como entrada y produce una sola variable como salida.

Las funciones se utilizan principalmente para asociar el argumento de la función, también llamado la entrada de la función, al valor de la función, también llamado la salida de la función.

2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función

Función

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado dominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del dominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

Dominio

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom. f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado dominio. El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y .

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, también llamado imagen o recorrido, este conjunto son los valores que puede tomar la función; son todos los valores de las Y.

Una función consiste , entonces, en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Rango

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Rango o recorrido o conjunto imagen

Cálculo del rango o recorrido

Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

R = − {2}

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectivo

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y

f(-2) = 4)

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de N va al 3 por esta función.

Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y

f(-2)=4)

2.3Función real de variable real y su representación gráfica

Completa la tabla de las siguientes funciones y grafica en el plano cartesiano

D(-∞,∞)

R(-∞,∞)

x 0 1 2 3 4 5

y -2 2 6 10 14 18

4(0)-2 = 0-2 =-2

4(1)-2 = 4-2 = 2

4(2)-2 = 8-2 = 6

4(3)-2 = 12-2 = 10

4(4)-2 = 16-2 = 14

4(5)-2 = 20-2 = 18

D(-∞,∞)

R(-∞,∞)

x 0 1 2 3 4 5

y 2 -3 -8 -13 -18 -23

2-5(0) = 2-0 =2

2-5(1) = 2-5 = -3

2-5(2) = 2-10 = -8

2-5(3) = 2-15 = -13

2-5(4) = 2-20 = -18

2-5(5) = 2-25 = -23

D(-∞,∞)

R(-∞,∞)

x 0 1 2 3 4 5

y 1 2 5 22 57 116

(0)3-2(0)+1 = 0-0+1 =1

(1)3-2(1)+1 = 1-2+1 =2

(2)3-2(2)+1 = 8-4+1 =5

(3)3-2(3)+1 = 27-6+1 =22

(4)3-2(4)+1 = 64-8+1 =57

(5)3-2(5)+1 = 125-10+1=116

D=R-{5}

x 0 1 2 3 4 5

y 0 2/5 2/10 2/15 2/20 2/25

2/5(0)-2 = 2/0

2/5(1)-2 = 2/5

2/5(2)-2 = 2/10

2/5(3)-2 = 2/15

2/5(4)-2 = 2/20

2/5(5)-2 = 2/25

D(-1/2,∞)

R(0,∞)

x 0 1 2 3 4 5

y 1i 1 1.7 2.2 2.6 3

...