Calculo Diferencial

RECTA NORMAL

Pendiente

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplos

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

RECTA TANGENTE

Pendiente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

TEOREMA DE ROLLE

El teorema de Rolle dice que:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.

f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:

f(−1) = f(0) = f(1) = 0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?

La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.

No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).

4. Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.

Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.

Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:

f(x1) = f(x2) = 0

Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c (x1, x2) tal que f' (c) = 0.

f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).

Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discrimínante es negativo:

Δ = 9 − 24 < 0.

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.

5. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 = 0?

La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en

TEOREMA DE LAGRANGE

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

Ejemplos

1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

2. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?

La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.

3. En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.

Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.

Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

4. Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los

...