CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II TEMA Nº 9

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA Nº 9  (Ultima modificación 24-10-2013)

INTEGRALES CURVILINEAS, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN

Solo consideraremos el caso de integrales curvilíneas a lo largo de curvas planas. Es decir curvas continuas que consisten en un número finito de arcos en cada uno de los cuales la tangente varía continuamente.

Sea z = f(x,y) una función y C una curva continua, que une los puntos A y B   (z= f(x,y) no tiene ninguna relación con la ecuación de la curva C y no es más que una función definida en cada punto de la porción de la curva C que se considera).

Divídase el arco de C entre A y B en “n” segmentos Δsi cuyas proyecciones sobre los ejes x e y son respectivamente Δxi ; Δyi y sean (ξi, ηi) las coordenadas de un punto cualquiera del segmento Δsi.

Realizamos ahora los siguientes productos:         f(ξi, ηi) . Δxi  ; f(ξi, ηi) . Δyi  ;  f(ξi, ηi) . Δsi  y hacemos las sumas para todas las subdivisiones del arco AB, luego tendremos

[pic 1][pic 2]

Los límites de estas sumas cuando cada Δsi ; Δxi ; Δyi tienden a cero, se llaman integrales curvilíneas y se escriben respectivamente:        

[pic 3]

En estas definiciones, Δxi ; Δyi son valores con signo, en tanto Δsi es intrínsecamente positivo.

Las siguientes propiedades:

[pic 4]      siendo C = constante

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Son igualmente válidas para las integrales curvilíneas de los dos primeros tipos, siempre que para cada fórmula la curva que une A con B siga siendo la misma.

Por otra parte las integrales del tercer tipo, si bien tienen las propiedades a) y b) no tienen la c)  ya que en efecto [pic 8] 

Además la propiedad d) vale para estas integrales sí y solo sí, P está entre A y B sobre el camino de integración.

Las integrales definidas ordinarias del cálculo elemental no son más que integrales curvilíneas en que la curva C es el eje x , y el integrando es una función de x solamente.

INTERPRETACION GRAFICA

Como en el caso de las integrales ordinarias, es posible interpretar una integral curvilínea como área. Si se piensa que z = f(x,y) define en el espacio una superficie. La superficie vertical que tiene por directriz el arco AB cortará a la superficie z = f(x,y) según una cierta curva PQ.

[pic 9]

El producto f(ξi, ηi) . Δsi es aproximadamente el área de la banda vertical de esta porción de superficie que se encuentra sobre la base elemental Δsi ; y la suma      [pic 10] es aproximadamente igual al área ABQP y en el límite la integral    ∫C f(x,y).ds , da está área exactamente.

De manera análoga, el producto f(ξi, ηi) . Δxi es aproximadamente el área de la proyección sobre el plano xz de la faja vertical de base Δsi , y la suma para i= 1 a n representa el área aproximada de esta proyección A'B'Q'P' sobre el plano xz, y la  ∫C f(x,y) dx ,  da esta área.

De igual modo se puede representar el área de la proyección de ABQP sobre el plano yz mediante la ∫C f(x,y).dy.

EJEMPLO

Calcular las integrales curvilíneas de la función z = f(x,y) = x + y + 1 sobre el camino dado por y = x entre los puntos A(1; 1) y B(3; 3).

Como la función f(x,y) = x + y + 1 representa un plano, la proyección del camino de integración y = x sobre este plano nos representa la recta PQ, con lo que nos queda formado el trapecio ABQP cuyas proyecciones sobre los planos xz e yz también representarán dos trapecios.

[pic 11]

Calculando las áreas de estos dos trapecios serán

[pic 12]

Calculemos ahora aplicando el concepto de integral curvilínea.

[pic 13] [pic 14]

[pic 15]     Esta integral la podemos calcular tanto para x como para y.

[pic 16] ya que dx=dy por ser x=y  luego

[pic 17]

resultado que concuerda con los que habíamos calculado anteriormente.

EXTENSION A FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Los conceptos vistos anteriormente son fácilmente generalizados para funciones de tres variables. Sea u = f(x,y,z)  una función continua y sea C una curva continua que une los puntos A y B en el espacio.

Dividamos el arco AB en “n” subintervalos Δsi cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son Δxi ; Δyi ; Δzi y Pi (ξi ; ηi ; ℘i) un punto genérico de cada Δsi. Calculamos el valor de         u = f(x,y,z)  en cada uno de estos puntos Pi y se forman las sumas  

...