Tema: SUBESPACIOS VECTORIALES

Tema:   SUBESPACIOS VECTORIALES

Objetivo: Conocer las propiedades de uno de los sistemas algebraicos: el Subespacio Vectorial como objeto fundamental de estudio del ´algebra Lineal. Plantear y estudiar los problemas básicos del tema, establecer métodos para su solución. Utilizar las herramientas conceptuales y procedimientos del álgebra lineal para la modelación y resolución de problemas.

Definición: 

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector 0, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

 (Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

 • 0 ∈ S.  

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y α es un escalar, entonces αv ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

Formulas:

Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b)

Producto por un escalar: α∈ℜ, α(a,a) = (αa,αa)

Ejercicios:

1) La recta x=y es un subespacio de ℜ². Está formado por los vectores de la forma (a,a).

Contiene al vector (0,0).

 Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

 • Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta.

• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.

2) El plano XY es un subespacio de ℜ³. Está formado por los vectores de la forma (x,y,0).

 Contiene al vector (0,0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento del plano.

 • Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.

Podemos decir que este plano “es como ℜ²” pero incluido en ℜ³.

Aplicaciones:

Las aplicaciones de los espacios vectoriales en la vida cotidiana son muy variadas.

El mundo no deja de ser un espacio vectorial, así que la localización de un punto implica el uso de coordenadas. Incluso el cambio de base para trabajar con coordenadas más simples.

La proyección de imágenes es una aplicación lineal.

Conclusiones:

Podríamos empezar diciendo que, en cuanto a su concepción teórica, el cálculo vectorial discreto tiene un desarrollo impecable. Pues nos permite trabajar de forma análoga al continúo siguiendo un proceso natural. Los conceptos pueden ser más o menos abstractos, y las ecuaciones más o menos complejas, pero al fin y al cabo trabajamos con matrices y vectores. Esto significa que a pesar de los formalismos necesarios para que la estructura matemática sea rigurosa, la teoría es simple en su concepción. Y este es uno de los puntos fuertes del método. De forma sencilla somos capaces de obtener con suficiente precisión soluciones a los problemas diferenciales elípticos más importantes de la física e ingeniería

Tema:   INDEPENDENCIA LINEAL

Objetivo: Conocer las propiedades de uno de los sistemas algebraicos: la independencia lineal como objeto fundamental de estudio del ´algebra Lineal. Plantear y estudiar los problemas básicos del tema, establecer métodos para su solución. Utilizar las herramientas conceptuales y procedimientos del álgebra lineal para la modelación y resolución de problemas.

Definición: 

Sea V es un espacio vectorial.   Se dice que un vector  [pic 1] en V es combinación lineal de los vectores  [pic 2], también en V, si existen escalares   [pic 3]  tales que

...