Subespacios vectoriales

Tema 2:

Sea V el espacio vectorial de n × n matrices y M ∈ V una matriz fija. Sea

                        W = {A∈V ∣ AM = MA}.

El conjunto W aquí se llama el centralizador de M en V.

Probar que W es un subespacio de V.

Primero verificamos que el elemento cero de V se encuentra en W. El elemento cero de V es la matriz cero n × n: 0v.

Está claro que M 0v = 0v = 0v M, y por lo tanto 0v ∈ W.

A continuación supongamos que A, B ∈W y c ∈ R. Entonces AM = MA y BM = MB, y así

(A + B) M = AM + BM = MA + MB = M (A + B).

Por lo tanto, (A + B) ∈ W.

También tenemos (cA) M = c (AM) = c (MA) = M (cA), y así (cA) ∈ W.

Estos tres criterios muestran que W es un subespacio de V.

Tema 3:

Sea V el espacio vectorial sobre R de todas las funciones de valor real en el intervalo [0,1] y sea

W = {f (x) ∈V ∣ f (x) = f (1 − x) para x∈ [0,1] }

un subconjunto de V. Determine si el subconjunto W es un subespacio del espacio vectorial V.

Debemos verificar que se cumplan los siguientes criterios de subespacio.

El vector cero en V está en W.

Para cualquiera de los dos elementos f (x), g (x) ∈W, tenemos f (x) + g (x) ∈W.

Para cualquier escalar c y cualquier elemento f (x) ∈W, tenemos cf (x) ∈W.

El vector cero de V es la función cero θ (x) = 0.

Desde que tenemos θ (x) = 0 = θ (1 − x) para cualquier x∈ [0,1], el vector cero θ está en W, por lo tanto, la condición 1 se cumple.

Sean f (x), g (x) elementos arbitrarios en W. Entonces, estas funciones satisfacen

f (x) = f (1 − x) y g (x) = g (1 − x) para cualquier x∈ [0,1].

Queremos mostrar que la suma h (x): = f (x) + g (x) está en W. Esto sigue ya que tenemos

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