Algebra. Reconocer las propiedades del espacio y subespacio vectorial

[pic 3]

[pic 4]

ACTIVIDAD 4

Objetivo:

1. Reconocer las propiedades del espacio y subespacio vectorial.
2. Distinguir si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente.
3. Identificar si un conjunto de vectores son base de un espacio vectorial.

Forma de evaluación:

Instrucciones:

Revisa detalladamente los siguientes ejemplos y apoyate en ellos para responder los ejercicios.

[pic 5]  Video
 

Consulta los siguientes videos para ayudarte a comprender los temas:

• Introducción a la independencia lineal.
• Más sobre independencia lineal.
• Espacios generadores y ejemplos de independencia lineal.

[pic 6]  Lectura

• Matriz de transición (INITE, 2012).
  Para conocer el concepto de Base y la forma de realizar una matriz de transición, consulta este documento.
• Espacio Vectorial. (INITE, 2012). 
• Vectores linealmente dependientes e independientes. (INITE, 2012).
• Base de un espacio vectorial. (INITE, 2012).

Desarrollo de la actividad:

Ejemplo (Para ejercicios 1 & 2)

Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta.

{   ( -2 , 2)  ,  ( 2 , 4 )  }

Como la dimensió del espacio IR2 es 2, entonces basta comprobar que son linealmente independientes. Con esto demostraremos que estos dos vectores osn base.

Para ello sean a y b dos números reales tales que:

a ( -2 , 2)  +  b ( 2 , 4 )  = (0,0)

Sí mostramos que a y b so cero, entoces tendremos que los vecores osn linelamente independientes y por tanto base para el espacio.

En efecto, desarrollando tenemos;

1) 🡺  -2a +2b = 0

2) 🡺  2a +4b = 0

Despejando de la primera ecuación

2a = 2b

a = 2b / 2;

a = b;

Como a = b, sustituimos en la segunda ecuación:

2b + 4b = 0

6b = 0

Por tanto

b = 0

Como a = b = 0, entonces son linealmente independientes y si generan a R2

*NOTA: Si nos hubieran dado 2 vectores y éstos deben generar a R3 o R4 o R5, etc. No son base ya que, para generar a Rn se requieren  al menos n vectores.

Ejercicio 1. (1.5 puntos)

Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta.

{   ( -4 , 4)  ,  ( 4 , 8 )  }

a ( -4 , 4)  +  b ( 4 , 8 )  = (0,0)

1) 🡺  -4a +4b = 0

2) 🡺  4a +8b = 0

Despejando de la primera ecuación

4a = 4b

a = 4b / 2;

a = b;

a=0

Como a = b, sustituimos en la segunda ecuación:

4b + 8b = 0

12b = 0

b=0

Como a = b = 0, entonces son linealmente independientes y si generan a R2

Ejercicio 2. (1.5 puntos)

Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta.

{   ( -1 , 1)  ,  ( 1 , -1 )  }

a ( -1 , 1)  +  b ( 1 , -1 )  = (0,0)

1) 🡺  -1a +1b = 0

2) 🡺  1a-1b = 0

Despejando de la primera ecuación

-1a = 1b

a = 1b / 2;

a = b;

a=0

Como a = b, sustituimos en la segunda ecuación:

1b +(-1) = 0

0b = 0

b=0

Como a = b = 0, entonces son linealmente independientes y si generan a R2

Ejemplo  (Para ejercicios 3 & 4)

Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y:

M = {   ( x , y , z ) | 3x + 4y + z = 0   }

Nota que este espacio es un plano contenido en IR3 que pasa por el 0

Para ello debemos despejar primero a la variable y.

4y  =   -z  - 3x

y  =    - (1/4)z   - (3/4)x

Ahora escribiremos un vector como sigue:

...