Espacio y subespacios vectoriales

Espacios y subespacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matricespresentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

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Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío VV de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores uu, vv y ww en VV y todos los escalares αα y ββreales.
Llamamos u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al producto de un número real αα por un vector v∈Vv∈V.
1. u+v∈Vu+v∈V
2. u+v=v+uu+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)
4. Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v
5. Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V
6. αv∈Vαv∈V
7. α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv
8. (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv
9. α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v
10. 1v=v1v=v

Observación: En la definición anterior, cuando decimos “escalares” nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que VV es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Ejemplo 1

De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R3R3 es un espacio vectorial.

Los espacios RnRn , con n≥1n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

Los vectores de RnRn son n-uplas de números reales, o sea:

Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R}Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R}

En RnRn , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así:

Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rnu=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn

u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rnu+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn

αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rnαv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn

Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

Ejemplo 2

De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada mm y nn RmxnRmxnes un espacio vectorial.

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