Subespacios vectoriales

1. Demostrar que son espacios vectoriales los siguientes.

1. Sea las matrices de 𝑚 renglones 𝑛 columnas 𝑀𝑚𝑥𝑛(ℝ).

[pic 3]

b) Sea 𝐶(ℝ) = {𝑓: ℝ → ℝ|𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛}

F(x), g(x) ∈ C(ℝ)

F(x) + g(x) = g(x) + f(x) ∈ ℝ por propiedades defunciones reales

c)        Sea ℙ𝑛(ℝ) = {𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛|𝑎𝑖 ∈ ℝ}

[pic 4]

1. Demostrar que son subespacios vectoriales del espacio vectorial.

a) 𝑉 = ℝ2; 𝐻 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 = 3, 𝑦 ∈ ℝ}

verificar si H es un conjunto no vacío de v

(0,0)        H[pic 5]

∴H no es subespacio de v

b) 𝑉 = ℝ2; {(𝑥, 𝑦): 𝑥 = 𝑦}

(x1,y1) ⋲ H x1=y1 (x2, y2) ⋲ H x2=y2

(x1,y1) + (x2, y2) = (x1 +x2, y1+y2)

∴ (x1 +x2, y1+y2) ⋲ H

(x,y) ⋲ H x=y α(x,y)= (αx,αy) αx=αy ∀ α escalar

∴ α(x,y) ⋲ H

c) 𝑉 = 𝑀𝑚𝑛 𝑊 = {𝐷 ∈ 𝑀: 𝑚𝑥𝑛 ∶ 𝐷 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙}

[pic 6]

d) 𝑉 = 𝑀𝑚𝑛 𝑊 = {𝑇 ∈ 𝑀: 𝑚𝑥𝑛 ∶ 𝑇 𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟}

[pic 7]

e) 𝑉 = 𝑀𝑚𝑛 𝑊 = {𝑆 ∈ 𝑀: 𝑚𝑥𝑛 ∶ 𝑆 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎}

sean A⋲W, B⋲W A+B= At +Bt

A+B= (A+B)t por propiedades de la transpuesta A+B ⋲ Mmn (R )

f)        𝑉 = ℝ2; {(𝑥, 𝑦): 𝑥, 𝑦 ≥ 0}

(x1,y1) ⋲ H

(x2, y2) ⋲ H

(x1,y1) + (x2, y2) = (x1 +x2, y1+y2)

Y1≥ 0

Y2≥ 0

Y1+Y2≥ 0

∴ (x1 +x2, y1+y2) ⋲ H

g) 𝑉 = ℝ2; {(𝑟, −𝑟): 𝑟 ∈ ℝ}

( r1, -r1) ⋲ H

(r2, -r2) ⋲ H

( r1, -r1)+ (r2, -r2)= (r1 + r2, -r1 + -r2)

∴(r1 + r2, -r1 + -r2) ∈ ℝ

(r,-r) r ∈ ℝ

α(r,-r)= (αr,- αr) (αr,- αr) ∀ α escalar

∴ α(r,-r) ∈ ℝ

h) 𝑉 = ℝ2; {(𝑥, 𝑥 + 1): 𝑥 ∈ ℝ}

(0, 0+1)

(0,1) ⋲ W[pic 8]

∴V no es subespacio

i)        𝑉 = ℝ3; {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑧 = 3𝑥 + 2}

(0,0,3(0)+2

(0,0,2) no incluye el vector nulo (0,0,0) (0,0,2) ⋲ W[pic 9]

∴V no es subespacio

j)        𝑉 = 𝑀𝑛𝑛(ℝ) 𝑊 = {𝐷 ∈ 𝑀: 𝑛𝑥𝑛 ∶ [

𝑎        −𝑎

] , 𝑎 ∈ ℝ}

k) 𝑉 = ℝ3; {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑦 = 2𝑧, 𝑦 = −𝑥}

y=2z        -x=y -x=2z x=-2z 2z-2z=0

( x1, y1, z1) ⋲ H 2z1-2z1=0 ( x2, y2, z2) ⋲ H 2z2-2z2=0

0        2𝑎

( x1, y2, z1) + ( x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1 +z2)

(x1+x2, y1+y2, z1 +z2) ⋲ V

∴ (x1+x2, y1+y2, z1 +z2) ⋲ V

( x,y,z) ⋲ H 2z-2z=0 α (x,y,z)=(αx, αy, αz) 2z-2z=0 ∀ α escalar

∴ α(x,y,z) ⋲ H

l)        𝑉 = 𝑃3(ℝ); {𝑝(𝑥) ∈ ℙ3|𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑥3}

m) 𝑊 = {𝑓 ∈ 𝐶[0,1]: 𝑓(0) = −3)}

1. Resuelve los siguientes ejercicios según corresponda. En caso de ser posible escribir 𝑣 como combinación lineal de 𝑣̅1, 𝑣2̅  , 𝑣̅3

a) 𝑣1 = (2,3,5), 𝑣2 = (1,2,4), 𝑣3 = (−2,2,3) y 𝑣 = (10,1,4)

V=α1 𝑣1 + α2 𝑣2 + α3 𝑣3

(10,1,4)= α1 (2,3,5) + α2(1,2,4) + α3(−2,2,3)

(10,1,4)= (2 α1, 3 α1, 5 α1)+ (α2, 2 α2, 4 α2) + (−2 α3, 2 α3, 3 α3)

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