Transformaciones Lineales ALGEBRA LINEAL

Teorema  Proceso Gram-Schimdt

Sea  una base de un subespacio  W de  y definamos lo siguiente:[pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Entonces, para cada k,    es una base ortogonal de  . En particular   es una base ortogonal de W[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Ortogonalidad en [pic 11]

NOTA: Se dice que dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a cero.*

Conjunto de vectores ortogonales y ortonormales

Definición: Un conjunto de vectores   en  se denomina conjunto  ortogonal si todos los pares de vectores distintos del conjunto son ortogonales, es decir, si [pic 12][pic 13]

[pic 14]

Teorema: Si  es un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero en , entonces estos vectores son linealmente independientes.[pic 15][pic 16]

Definición: Una base ortogonal de un subespacio W de  es una base de W que es un conjunto ortogonal.[pic 17]

Espacio con producto interno

Definición: Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna  a cada par de vectores  de V un número real  tal que las siguientes propiedades conservan su validez para todo vector  de V y todo escalar c:[pic 18][pic 19][pic 20]

1.-  [pic 21]

2.-[pic 22]

3.-[pic 23]

4.-[pic 24]

Un espacio vectorial con un producto interno se denomina  espacio  con producto interno.

Longitud, distancia y Ortogonalidad.

Definición: sean  vectores de un espacio con producto interno V.[pic 25]

1.- La longitud (o norma) de [pic 26]

2.- La distancia entre [pic 27]

3.-  son ortogonales si  *[pic 28][pic 29]

Matrices ortogonales

Teorema: Las columnas de una matriz  forman un conjunto ortogonal si y sólo si [pic 30][pic 31]

Definición: Una matriz  cuyas columnas forman un conjunto ortogonal se denomina matriz ortogonal.[pic 32]

Teorema: Una matriz cuadrada  es ortogonal si y sólo si [pic 33][pic 34]

Teorema: Sea  una matriz de . Los enunciados siguientes son equivalentes:[pic 35][pic 36]

1.  es ortogonal.[pic 37]
2.  en .[pic 38][pic 39]
3.  para todo [pic 40][pic 41]

Teorema: La factorización QR

Sea A una matriz de m x n con columnas linealmente independientes. Entonces, A puede ser factorizada como A=QR, donde Q es una matriz de m x n con columnas ortogonales y R es una matriz triangular superior invertible.

NOTA: [pic 42]

También  [pic 43]

Transformaciones lineales

Definición 1: una transformación lineal de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W es una función T: V→W  tal que, para todo u y v en V y para todo escalarα,

1.-  T (u+v) = T (u) + T (v)

2- T (αu) = α T (u)

Esta definición es equivalente al requisito de que T conserva todas las combinaciones lineales. Es decir:

T: V→ es una transformación lineal si y sólo si

T (α1v1+α2v2+⋅⋅⋅+αkvk) = α1 T(v1)+α2 T(v2 )+⋅⋅⋅+αk T(vk)

Para todo v1,…, vk y  escalares α1,…, αk 

Ejemplos:

Si A es una matriz de mxn, entonces la transformación TA: ℜn→ℜm definida por:

TA(x) = Ax para x en ℜn es una transformación lineal?

Propiedades de las transformaciones lineales

Teorema 1:  Sea T: V→ W una transformación lineal. Entonces:

T(0) = 0

T(-v) = - T(v) para toda v en V

T(u – v) = T(u) – T(v)  para todo u y v en V

Teorema 2: Sea  B = { v1, v2, . . . , vk} una base para un espacio vectorial V. Sean u y v vectores en V y sea α un escalar. Entonces:

[u + v]B = [u]B + [v]B

[αu]B = α[u]B 

Teorema 2: Sea  B = { v1, v2, . . . , vk} una base para el espacio vectorial V y sean u1, . . .  ,uk vectores en V. entonces { u1, . . .  ,uk} es linealmente independiente en V si y sólo si { [u1]B, . . .  ,[uk]B } es linealmente independiente en  Rn.

Ejemplo: Supongamos que T es una transformación lineal de Rn en P2 tal que:

T=  2 – 3x +x2    y   T = 1 – x2 [pic 44][pic 45]

Encontrar T     y  T     [pic 46][pic 47]

Teorema 3: Sea T: V→ W una transformación lineal y sea B = { v1, v2, . . . , vn} un conjunto generador para V. Entonces, T(B) =  {T(v1), T(v2), . . . , T(vk)} genera la imagen de T.

Composición de transformaciones lineales.

Definición: Si T: U → V  y  S: V→ W son transformaciones lineales, entonces la composición S con T es la función S ° T definida por:

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