Algebra Lineal - Transformaciones Lineales

ÁLGEBRA LINEAL

Transformaciones Lineales

Roberto Alvídrez

Jorge Bautista

Andrés Becerra

Carmen Herrera

Ezequiel Vázquez

Fernando Velazco

Transformaciones lineales Generales   449

Ejemplo 5  En la sección 6.4 se definió la proyección ortogonal de Rm  sobre un subespacio W. [Véase la formula (6) y la definición procedente a esta en dicha sección.] Las proyecciones ortogonales también se pueden definir en espacios generales con producto interior como sigue: Supóngase que W es un subespacio de dimensión finita de un espacio V con un producto interior; entonces la proyección ortogonal de V sobre W es la transformación definida por

[pic 1]

(Figura 2). Por el teorema 6.3.5 se deduce que si

[pic 2]

Es cualquier base normal para W, entonces T (v) está definido por la formula

[pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6]

                             V                    W[pic 7]

                                   [pic 9][pic 8]

                                          [pic 10]

Figura 2     [pic 11]                        

La demostración de que T es una transformación lineal es consecuencia de las propiedades del producto interior, por ejemplo:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

De manera semejante, [pic 16]

Ejemplo 6 como un caso especial del ejemplo anterior, sea V=R3 con el producto interior euclidiano, los vectores W1= (1, 0, 0) y W2= (0, 1, 0) forman una base ortonormal del plano xy, por tanto si V= (x, y, z) es cualquier vector en R3 sobre el plano xy está dado por:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Transformaciones lineales Generales

Ejemplo 15  sean y  las transformaciones lineales definidas por las formulas[pic 20][pic 21]

[pic 22]

Entonces la composición  está definida por la formula [pic 23]

[pic 24]

En particular si  entonces [pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Ejemplo 16  si   es cualquier operador lineal y si  es el operador identidad (ejemplo 3) entonces para todos los vectores    en   se tiene [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

En consecuencia,   son iguales a   es decir [pic 36][pic 34][pic 35]

[pic 37]

                                      (3)[pic 38]

Esta sección concluye haciendo notar que las composiciones se pueden definir para más de dos transformaciones lineales. Por ejemplo, si

[pic 39]

Son transformaciones lineales, entonces la composición   se define como:[pic 41][pic 40]

                 (4)[pic 42]

Transformaciones lineales  457

Estas propiedades se usaran como punto de partida para el estudio de las transformaciones lineales generales.

Ejemplo 1 debido a que la transformación anterior de transformada lineal se basa en el teorema 4.3.2, las transformaciones lineales de  a , según se definieron en la sección 4,2. También son transformaciones lineales bajo esta definición más general. A las transformaciones lineales de  a  se les llamara transformaciones matriciales ya que se pueden efectuar por medio de la multiplicación de matrices.  𝛥[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

Ejemplo 2 sean  y  dos espacios vectoriales cualesquiera. El mapeo    tal que   para todo  en  es una transformación lineal denominada transformación cero. Para darse cuenta que  es lineal, obsérvese que[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

[pic 54]

Por consiguiente

[pic 55]

Ejemplo 3 sea  cualquier espacio vectorial. El mapeo  definido por  se llama operador identidad sobre . La composición de que  es lineal se deja como ejercicio.  𝛥[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

Ejemplo 4 sea  cualquier espacio vectorial y  cualquier escalar fijo. Se deja como ejercicio comprobar la función   definida por[pic 61][pic 62][pic 63]

[pic 64]

Es un operador lineal sobre . Este operador lineal se conoce como dilatación de  con factor  si  y como contracción de  con factor  si  geométricamente la dilatación “estira” a cada vector de  por un factor  y la contracción de  “comprime” a cada vector de  por un factor  (figura 1).   𝛥[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

                                 [pic 82][pic 83][pic 84][pic 81]

 [pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

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