Algebra Lineal

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ALGEBRA LINEAL

Actividad Nº6

Trabajo Colaborativo Nº1

Reconocimiento de la Unidad 1

Tutor de curso

ING. IVAN FERNANDO AMAYA.

Presenta

Ricardo Cortés Jordán

Código 80053009

Grupo: 179

Bogotá D.C, 15 de abril de 2012.

Dado los siguientes vectores dados en forma polar:

|u|=2; θ=315°

u=(2cos⁡〖315°)i + (2 sin⁡〖315°)j〗 〗

u=2(√2/2)i+ 2((-√2)/2)j

u=√2 i + (-√2)j ≅ (1.41,-1.41)

|v|=5; θ=60°

v=(5cos⁡〖60°)i + (5 sin⁡〖60°)j〗 〗

v=5(1/2)i+ 5(√3/2)j

v=5/2 i + (4.33)

v=(5/2 i + 4.33j )≅(2.5,4.33)

Realice analíticamente las siguientes operaciones:

u ⃗+v ⃗

(1.41,-1.41)+(2.5,4.33)=(1.41+2.5,-1.41+4.33)

u ⃗+v ⃗=(3.91,2.92)

v ⃗+u ⃗

(v ⃗ )=(2.5,4.33)

(u ⃗ )=(1.41-,-1.41)

v ⃗-u ⃗=(2.5,4.33)-(1.41,-1.41)

v ⃗-u ⃗=(1.09,5.74)

3v ⃗-2u ⃗

3(5/2,4.33)-2(√2,-√2)

(15/2,12.99)-(2√2,-2√2)

(7.5-2.82,12.99+2.82)

(4.68,15.81)

Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores.

2.1 u ⃗=i+7j y v ⃗=-i-4j

u ⃗*v ⃗=(1*-1)+(7*-4)=-1+(-28)=-29

|u|=√((1)^2+(7)^2 )=√50≅7.07

|v|=√((-1)^2+(-4)^2 )=√17≅4.12

Por lo tanto;

〖 cos〗⁡〖θ=(u*v)/|u||v| 〗 ; cos⁡〖θ=(-29)/(√50*√17)〗

cos⁡〖θ=(-29)/√850〗 ; θ=cos^(-1)⁡((-29)/√850) ; θ=174.09°

2.2 w ⃗=-2i-3j y u ⃗=2i-5j

w ⃗*u ⃗=(-2*3)+(2*-5)=(-2*2)+(-3*-5)=-4+15

w ⃗*u ⃗=11

|w|=√((-2)^2+(-3)^2 )=√13≅3.60

|u|=√((2)^2+(-5)^2 )=√29≅5.38

Por lo tanto;

〖 cos〗⁡〖θ=(w*u)/|w||u| 〗 ; cos⁡〖θ=11/(√13*√29)〗

cos⁡〖θ=11/√377〗 ; θ=cos^(-1)⁡(11/√377) ; θ°=55.49°

Dada la siguiente Matriz, encuentre A-1empleando para ello el método de Gauss Jordán (Describa el proceso paso a paso).

La idea es hallar los 1 de la matriz inversa primero y luego los 0, el orden de estos será por columna.

Cogemos todos los términos de la fila 1 y los dividimos entre 2, con el fin de convertir el 2 de la columna 1 en 1, de acuerdo a nuestra matriz identidad

A=(■(2&1&5@5&-5&-1@0&2&-3)│■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) f_1/2 (■(1&1/2&5/2@5&-5&-1@0&2&-3)│■(1/2&0&0@0&1&0@0&0&1)) f_2=f_2-〖5f〗_1

Decimos que la fila f2 es igual a la f2 menos 5f1 para convertir el 5 en 0, después decimos que f2 es igual a multiplicar -2/15 por f2 y asi dejar convertido el - 2/15 en 1.

(■(1&1/2&5/2@0&-15/2&-27/2@0&2&-3)│■(1/2&0&0@-5/2&1&0@0&0&1)) f_2=-2/15 f_2 (■(1&1/2&5/2@0&1&9/5@0&2&-3)│■(1/2&0&0@1/3&-2/15&0@0&0&1)) f_1=f_1-1/2 f_2

Cogemos f1 y decimos que es igual a f1 menos un medio de f2, para así convertir el ½ en 0.

(■(1&0&8/5@0&1&9/5@0&2&-3)│■(1/3&1/15&0@1/3&-2/15&0@0&0&1)) f_3=f_3-2f_2 (■(1&0&8/5@0&1&9/5@0&0&-33/5)│■(1/3&1/15&0@1/3&-2/15&0@-2/3&4/15&1)) f_3=f_3*-5/33

Decimos que f3 es igual a f3 menos 2 veces la fila numero 2, para convertir el 2 en 0 y después para seguir con el mismo orden decimos que f3 es igual a multiplicar a f3 por -5/33 y lograr dejar convertido el -33/5 en 1, con este ultimo ya habremos encontrado todos los 1 de nuestra matriz.

(■(1&0&8/5@0&1&9/5@0&0&1)│■(1/3&1/15&0@1/3&-2/15&0@10/99&-4/99&-5/33)) 〖 f〗_1=f_1-8/5 f_3 (■(1&0&0@0&1&9/5@0&0&1)│■(17/99&13/99&8/33@1/3&-2/15&0@10/99&-4/99&-5/33)) 〖 f〗_2=f_2-9/5 f_3

Cogemos a f1 y decimos que es igual a f1 – 8/5 de f3 con eso obtendremos remplazar a -8/5 por un 0.

Por ultimo cogemos remplazar a -9/5 por 0, diciendo que f2 es igual a f2 menos 9/5 de f3.

(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)│■(17/99&13/99&8/33@-5/33&2/33&3/11@10/99&-4/99&-5/33))

Por ultimo hemos obtenido nuestra matriz inversa A-1 empleando para ello el método de Gauss Jordan.

TUFCZ

8NVEUTUFCZ

Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior.

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