Algebra Lineal

EJERCICIOS DE `LGEBRA LINEAL

UNIDAD I: `lgebra de vectores

1. Determine la magnitud del vector (a) = (6;3;2) (b) = 1 p2b i + 1 p2b j (c) = 3b i2b j + 4b k. 2. Dados los puntos A(3;1;2) y B (1;2;1) hallar los vectores AB y BA. 3. Dado kk = 13, kk = 19 y k + k = 24, determinar kk. 4. Los vectores y son perpendiculares entre si y kk = 5, kk = 12. Calcular k + k y kk. 5. Los vectores y forman un Ængulo de = 3 ; si kk = 5 y kk = 8,determinar k + k y kk. 6. Sean = (3;2;6) y = (2;1;0). Determinar las proyecciones sobre los ejes coordenados de los siguientes vectores. (a) + (c) 2 (e) 2 + 3 (b) (d) 1 2 7. Los vectores y forman un Ængulo de = 2 3 ; sabiendo que kk = 3 y kk = 4, calcular (a) (c) ( + )( + ) (e) ()( + ) (b) (d) (32)( + 2) (f) (3 + 2)(3 + 2). 8. Vericar la identidad siguiente. (a) k + k2 +kk2 = 2kk2 +kk2 (b) = 1 4k + k2 kk2 9. Demostrar que = ( ) ( ) es perpendicular al vector . 10. Sean = 4b i2b j 4b k, = 6b i3b j + 2b k. Calcular (a) (c) (23)( + 2) (e) ()() (b) p (d) ( + )( + ). . 11. Los vØrtices de un cuadrilÆtero son A(1;2;2), B (1;4;0) , C (4;1;0) y D (5;5;3). Probar que las diagonales AC y BD son perpendiculares. 12. Para el triÆngulo de vØrtices A(1;2;4), B (4;2;0) y C (3;2;1) hallar el Ængulo interno del vØrtice B. 13. Calcular la proyeccin ortogonal del vector = 5b i+2b j +5b k sobre la recta que contiene al vector = 2b ib j + 2b k. 1

14. Sean = 3b i6b j b k, =b i + 4b j 5b k y = 3b i4b j + 12b k, hallar (a) proy ( + ) (b) proy+ (c) proy (32). 15. Los vectores y forman un Ængulo de = 6 . Si jjjj = 6 y jjjj = 4,determinar jjjj. 16. Los vectores y son ortogonales entre si. Sabiendo que kk = 3 y kk = 4, calcular (a) k( + )()k (b) k(3)(2)k. 17. Sean = 3b ib j 2b k y =b i + 2b j b k. Hallar (a) (b) (2 + ) (c) (2)(2 + ). 18. Demostrar que ( ) = () (). 19. Vericar que la siguente identidad.

(a) () = () = 0. (b) ()() + ()2 = kk2kk2. Planos y rectas 20. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto P (21;1) y cuyo vector normal es n =(1;2;3). 21. Determinar la ecuacin del plano que pasa por el punto P (3;4;5) y es paralelo a los vectores n = (3;1;1) y m = (1;2;1). 22. Encontrar la ecuacin del plano que pasa por los puntos P (2;1;3), Q(3;1;2) y es paralelo al vector n = (3;1;4). 23. Escribir la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(3;1;2), B (4;1;1) y C (2;0;2).

24. Determinar la ecuacin del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos de ecuaciones 2xy+3z1 = 0, x+2y+z = 0. 25. Encontrar la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1;1;2), B (3;1;1) y es perpendicular al plano x2y + 3z 5 = 0. 26. Determinar los valores de a y b para que los planos 2xy + 3z 1 = 0, x + 2yz + b = 0, x + ay6z + 10 = 0 (a) tiene un punto en comœn, (b) pasan por una recta, (c) se cortan en tres rectas paralelas diferentes.

27. Hallar las ecuaciones paramØtricas de la recta de interseccin de los planos 2x3y + 5z 6 = 0, x + 5y7z + 10 = 0.

2

28. Determinar la ecuacin del plano que contiene la recta de interseccin de los planos 2xy + 3z 5 = 0, x + 2y z + 2 = 0 y es paralelo al vector n = 2b ib j + 2b k. 29. Hallar la ecuacin del plano que contiene la recta 3x 2y + z 3 = 0, x2z = 0 y es perpendicular al plano x2y + z + 5 = 0. 30. Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P0 (1;1;3) y es paralela (a) al vector n = 2b i3b j + 4b k, (b) a la recta x1 2 = y+2 5 = z1 0 , (c) a la recta x = 3t1, y = 2t + 3, z = 5t + 2. 31. Buscar las ecuaciones paramØtricas de la recta que pasa por los puntos P (3;1;2) y Q(2;1;1). 32. Por los puntos P0 (6;6;5) y P1 (12;6;1) se ha trazado una recta. Hallar los puntos de interseccin de esta recta con los planos coordenados. 33. Hallar las ecuaciones cannicas de la recta que pasa por el punto P0 (2;3;5) y es paralela a la recta de interseccin de los planos 3xy + 2z 7 = 0, x + 3y2z + 3 = 0. 34. Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1;2;3), es perpendicular al vector n = 6b i2b j 3b k y se corta con la recta x1 3 = y + 1 2 = z 3 5 . 35. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P0 (4;5;3) y se corta con las dos rectas

x + 1 3

=

y + 3 2

=

z 2 1

;

x2 2

=

y + 1 3

=

z 1 5

.

36. Encontrar las ecuaciones de la perpendicular comœn a las dos rectas, dadas por las ecuaciones

x = 3t7;y = 2t + 4;z = 3t + 4; x = t + 1;y = 2t9;z = t12. 37. Escribir la ecuacin del plano que pasa por el punto P (1;2;1) y es perpendicular a la recta

x2y + z 3 = 0 x + yz + 2 = 0

3

38. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1;2;3) y es paralelo a las rectas x1 2 = y + 1 3 = z 7 3 , x + 5 3 = y2 2 = z + 3 1 39. Demostrar que la recta de interseccin de los planos 5x3y + 2z5 = 0 y 2xyz 1 = 0 estÆ contenido en el plano 4x3y + 7z 7 = 0. 91. Demostrar que las rectas x1 2 = y + 2 3 = z 5 4

x = 3t + 7 y = 2t + 2 z = 2t + 1 estÆn contenidas en un plano y hallar la ecuacin del mismo.

40. Escribir la ecuacin del plano que contiene la recta x = 3t+1, y = 2t+3, z = t2 y es paralelo a la recta 2xy + z 3 = 0 x + 2yz 5 = 0

41. Encontrar la ecuacin del plano que contiene a la recta x1 2 = y + 2 3 z 2 2 y es perpendicular al plano 3x + 2yz 5 = 0. 42. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (3;2;4), es paralela al plano 3x2y3z 7 = 0 y se corta con la recta x2 3 = y + 4 2 = z 1 2 43. Hallar las ecuaciones de la recta que es paralela a los planos 3x + 12y 3z 5 = 0, 3x4y + 9z + 7 = 0 y se corta con las rectas x + 5 2 = y3 4 = z + 1 3 , x3 2 = y + 1 3 = z 2 4

4

UNIDAD II: Matrices

45. Diga cuÆles matrices estÆn en la forma escalonada reducida y cuÆles slo estÆn en forma escalonada. a.0 @ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 A b.0 @ 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 A c.0 @ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A d.0 @ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 A e.0 @ 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A f.0 @ 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 A g.0 @ 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 A h.0 @ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 A i. 0 B B @ 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C C A j.0 B B @ 1 2 3 4 5 0 2 3 4 5 0 0 3 4 5 0 0 0 4 5 1 C C A k. 0 @ 0 1 3 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 A l. 0 B B @ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 C C A m.0 B B @ 0 2 3 4 5 0 0 3 4 5 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 1 C C A n. 0 @ 1 5 3 0 1 1 0 0 0 1 A o. 0 B B @ 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 C C A p. 1 0 3 1 0 1 2 4 q.0 B B @ 1 3 0 2 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 C C A 46. Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente.

a.

x1 + x2 3x3 = 1 2x1 + x2 2x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 3 x1 + 2x2 3x3 = 1

b.

2x1 + x2 + x3 = 2 x1 + 3x2 + x3 = 5 x1 + x2 + 5x3 = 72 x1 + 3x2 3x3 = 14

c.

2x1 x2 + 3x3 = 3 3x1 + x2 5x3 = 0 4x1 x2 + x3 = 3x 1 + 3x2 13x3 = 6

d.

x1 + 3x2 + 2x3 = 0 2x1 x2 + 3x3 = 0 3x1 x2 + 4x3 = 0 x1 + 17x2 + 4x3 = 0

5

e.

2x1 + x2 x3 + x4

...