Algebra Lineal

Semana 1º:

Multiplicación de Matrices: Sean las matrices A =[■(1&2@3&4)] y B = [■(5&6@7&8)]

1º) Se debe tener en cuenta que para multiplicar matrices las columnas de A deben ser iguales a las columnas de B.

2º) La multiplicación se realiza de la siguiente manera:

AB=[■(1&2@3&4)] [■(5&6@7&8)] = [■(1*5+2*7&1*6+2*8@3*5+4*7&3*6+4*8)] = [■(19&22@43&50)]

3º) Por lo tanto AB = [■(19&22@43&50)]

Transpuesta de una Matriz: Sean las matrices A =[■(1&2@3&4)] y B = [■(5&6@7&8)]

1º) La transpuesta de A se denomina A^t y se calcula intercambiando las filas de la matriz por sus columnas, es decir:

A =[■(1&2@3&4)] → A^t = [■(1&3@2&4)] (Observar que la diagonal siempre se mantiene en su lugar)

B=[■(5&6@7&8)] → B^t = [■(5&7@6&8)] (Observar que la diagonal siempre se mantiene en su lugar)

Matriz Identidad:

1º) La matriz identidad se denomina I_n , siendo n el grado de esta

2º) La matriz identidad es aquella matriz que posee en la diagonal números 1 y todo el resto son números 0, es decir

I_2 = [■(1&0@0&1)] o I_3 = [■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

Tipos de Matrices:

1º) Matriz Cuadrada: la matriz tiene igual cantidad de filas que de columnas

2º) Matriz Simétrica: la matriz A es igual a A^t

3º) Matriz Anti simétrica: la matriz A es igual a -A^t

4º) Matriz Triangular superior: (solo para matrices cuadradas) los elementos debajo de la diagonal son todos iguales a 0

5º) Matriz Triangular Inferior: (solo para matrices cuadradas) los elementos sobre la diagonal son todos iguales a 0

Operaciones Elementales sobre una matriz: Sea la matriz A =[■(1&2@3&4)]

1º) Intercambio de Filas: se denota como F_12 y lo que indica es que se intercambia la fila 1 por la fila 2, es decir:

A =[■(1&2@3&4)] aplicando F_12 [■(3&4@1&2)]

2º) Multiplicación y División de Filas: se denota como X * F_1 , siendo X la cantidad a multiplicar o dividir, es decir:

A =[■(1&2@3&4)] aplicando 4F_1 [■(4&8@3&4)] (para multiplicar)

A =[■(1&2@3&4)] aplicando 1/4 F_1 [■(1/4&1/2@3&4)] (para dividir)

3º) Suma y Resta de Filas: se denota como F_1 ± F_2 y lo que indica es que a F_1 se le resta F_2, es decir:

A =[■(1&2@3&4)] aplicando F_1 + F_2 [■(4&6@3&4)]

Matriz Escalonada Reducida Por Filas (MERPF)

1º) El 1º numero distinto de 0 (siempre comenzando desde la izquierda) en cada fila debe ser 1 y recibe el nombre de Pivote

2º) Todas las componentes arriba y abajo del Pivote se deben hacer 0 utilizando las operaciones elementales de una matriz

3º) Las filas que queden solo con 0 se deben desplazar al final de la matriz

4º) El objetivo de la MERPF es obtener una matriz identidad

Dato: Si la matriz tiene 0 solo debajo del pivote, se dice que esta escalonada

Ej.: A =[■(1&2@3&4)] Calcule MERPF:

[■(1&2@3&4)] → F_2 - 3F_1 [■(1&2@0&-2)] →(-1)/2 F_2 [■(1&2@0&1)] → F_1 - 2F_2 [■(1&0@0&1)]

Más Tipos de Matrices:

1º) Matriz Nilpotente: una matriz es Nilpotente, si y solo si A^n = 0, con n perteneciente a los naturales, es decir:

A^2 = [■(0&0&0@2&0&0@5&3&0)][■(0&0&0@2&0&0@5&3&0)] = [■(0&0&0@0&0&0@6&0&0)]

A^3 = [■(0&0&0@2&0&0@5&3&0)][■(0&0&0@2&0&0@5&3&0)][■(0&0&0@2&0&0@5&3&0)] = [■(0&0&0@0&0&0@0&0&0)]

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