Algebra Lineal

1. Vector

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.

Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:

, donde

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional o bidimensional ).

Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

• módulo: la longitud del segmento

• dirección: la orientación de la recta

• sentido: indica cual es el origen y cuál es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente.

1.1. Características de un vector

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

Siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector en de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

Siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representada por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

1.2. Producto Escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación entre dos vectores de un mismo espacio euclídeo. El resultado de esta operación es un número o escalar que resulta de sumar las multiplicaciones de las dimensiones de estos dos vectores en cada uno de los ejes coordenados.

Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

Donde es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido . La función (que toma como argumentos dos elementos de , y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:

2. Hermiticidad: ,

3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,

Donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

1.3. Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

1.4. Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

1.4.1. Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

1.4.2. Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

1.4.3. Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

1.4.4. Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector es otro vector:

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