Triangulos, Circulos Y Poligonos

Triángulos

Aspectos generales sobre triángulos

Definición: Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es una superficie plana, que tiene tres lados, y por lo tanto tres ángulos y tres vértices,

Notación: La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando el símbolo seguido de las tres letras mayúsculas de sus vértices. Ejemplo:

ABC

Clasificación de triángulos conforme a sus lados.

Equilátero: Son los que tienen sus tres lados iguales.

Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.

Escaleno: Es aquel en el que ninguno de sus lados son iguales; Son los que tienen sus tres lados desiguales.

Clasificación de acuerdo a sus ángulos:

Acutángulos: Son los que tienen sus tres ángulos agudos.

Rectángulos: Es el que tiene un ángulo recto; Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se denomina Hipotenusa.

Obtusángulos: Son aquellos que tienen un ángulo obtuso.

Los triángulos Acutángulos y Obtusángulos se denominan también "TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS" debido a que ninguno de sus lados interiores es un ángulo Recto.

Algunas propiedades importantes de los triángulos

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó \pi radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

Rectas y puntos notables en un triangulo

Los puntos notables de un triángulo, son los puntos de intersección de las rectas llamados: Bisectriz, Mediatriz, Alturas, y Medianas de un Triángulo.

INCENTRO: Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo; Es el centro de la circunferencia inscrito en un triángulo.

BISECTRIZ DEL ÁNGULO: Es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos congruentes o iguales.

CIRCUNCENTRO: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo.

MEDIATRIZ: Es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado del triángulo.

ORTOCENTRO: Es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo.

ALTURA DEL TRIÁNGULO: Es el segmento de recta perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto; Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado.

GRAVICENTRO, BARICENTRO ó CENTRO DE GRAVEDAD: Es el punto donde se cortan las medianas, es decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un cuerpo triangular.

MEDIANA: Es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto; Es el segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Construcción de triángulos

Construcción de un triángulo, conocidos los tres lados.

OPERACIONES:

Se coloca un lado (por ejemplo, el lado a) como base.

Desde un extremo del lado a (punto C) se traza un arco con una abertura del compás igual al lado b.

Desde el otro extremo (punto B) se traza un arco con un radio de longitud igual al lado c.

Unir el punto donde se cortan los dos arcos (punto A) con los extremos del lado a (puntos C y B). Se obtiene el triángulo.

Construcción de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Se trata de construir un triángulo partiendo de dos de sus lados y el ángulo que forman.

OPERACIONES:

Se sitúa el ángulo A en la posición elegida para construir el triángulo.

A partir del vértice A se traza un arco con la medida del lado b, hasta cortar un lado del ángulo A.

Desde el vértice A, se traza un arco con el lado c, hasta cortar el otro lado del ángulo A.

Se unen los puntos de intersección conseguidos y se obtiene el triángulo solicitado.

Angulo

B

C

Solución:

Construcción de un triángulo a partir de un lado y los dos ángulos adyacentes.

Se trata de construir un triángulo, determinado por dos ángulos adyacentes y el lado comprendido.

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen uno de sus lados sobre una misma recta.

OPERACIONES:

Sobre una recta cualquier r, se coloca el lado b.

En uno de los extremos del lado b, se construye el ángulo A.

Sobre el otro extremo, se lleva el ángulo C.

Uniendo el tercer vértice (ángulo B) con los otros dos vértices, se obtiene el triángulo propuesto.

Construcción de un triángulo rectángulo conocidos los catetos.

Se trata de construir un triángulo rectángulo, determinado por sus dos catetos.

Habrá que tener en cuenta que estos dos catetos deberán estar sobre los lados de un ángulo recto.

OPERACIONES:

Sobre una recta r cualquiera,

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