Circulo De Mohr

INTRODUCCIÓN

El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensiónales en dos y tres dimensiones.

Es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Las aplicaciones de esta construcción gráfica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a la que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad.

Una de sus características más importantes es que aunque se trata de una solución gráfica, su construcción no exige en la mayoría de las aplicaciones, medidas a escala; tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecánica de los suelos.

MARCO TEÓRICO

Christian Otto Mohr (Wesselburen, 8 de octubre de 1835 - Dresde, 2 de octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemán, uno de los más celebrados del siglo XIX.

Vida

Mohr perteneció a una familia terrateniente de Wesselburen en la región de Holstein y estudió en la Escuela Politécnica de Hanóver.

En los inicios de 1855, durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en el diseño de vías de ferrocarriles para las vías de los estados de Hanóver y Oldenburg, diseñando algunos puentes famosos y creando algunas de las primeras armaduras de acero.

Aún en sus primeros años construyendo vías de tren, Mohr se sentía muy interesado por las teorías de mecánica y la resistencia de materiales y en 1867, se hizo profesor de mecánica en el Politécnico de Stuttgart y en 1873 en el Politécnico de Dresde. Mohr tenía un estilo directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes.

Logros científicos

En 1874, Mohr formalizó, la hasta entonces solo intuitiva, idea de una estructura estáticamente indeterminada.

Mohr fue un entusiasta de las herramientas gráficas y desarrolló un método para representar visualmente tensiones en tres dimensiones, previamente propuesto por Carl Culmann. En 1882, desarrolló el método gráfico en dos dimensiones para el análisis de tensión conocido como círculo de Mohr y lo usó para proponer la nueva teoría de resistencia de materiales, basada en el esfuerzo cortante. También desarrolló el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y la teoría de Maxwell-Mohr para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.

Se retiró en 1900 y murió en Dresde en 1918.

Los dos principales tensiones se muestran en rojo, y el esfuerzo cortante máximo es de color naranja. Recuerde que la tensión normal es igual a los esfuerzos principales cuando el elemento se alinea con la direcciones de los esfuerzos principales, y el esfuerzo cortante es igual al esfuerzo cortante máximo cuando el elemento de tensión se rompe a 45 km desde las principales direcciones. Como el elemento esfuerzo se gira lejos de la principal (o cortante máximo) las direcciones, los componentes de la tensión normal y cortante siempre se encuentran en el círculo de Mohr.

Circulo de Mohr

Hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918) en 1882, el círculo de Mohr ilustra las tensiones a través de grandes transformaciones en un formato gráfico.

Es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.) También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Circunferencia de Mohr para esfuerzos:

 Caso Bidimensional:

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

 Centro del círculo de Mohr:

 Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

 Caso tridimensional:

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional

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