Circulo De Mohr

Christian Otto Mohr

Christian Otto (10/08/1835, Wesselburen, Holstein – 03.10.1918, Dresden), el científico alemán en el campo de la mecánica estructural y resistencia de materiales. Se graduó en el Instituto Politécnico de Hannover. A partir de 1868 enseñó en Stuttgart, y desde 1873 en el Instituto Politécnico de Dresde. El creador de una de las teorías de la fuerza (la fuerza la teoría de Mora), los métodos gráficos de la determinación de tensiones en un estado de estrés complejo (el círculo de Mohr). Mohr utilizó por primera vez el cálculo de estructuras de sancionar ha descargado a través de las líneas de influencia, creó una teoría de análisis de sistemas estáticamente indeterminadas por la fuerza. Mohr también ha desarrollado un método para el cálculo de vigas continuas usando las ecuaciones de tres momentos, propuso un método gráfico para la construcción de la línea elástica en simples y vigas continúas.

En 1874, Mohr formalizó, la hasta entonces solo intuitiva, idea de una estructura estáticamente indeterminada.

Mohr fue un entusiasta de las herramientas gráficas y desarrolló un método para representar visualmente tensiones en tres dimensiones, previamente propuesto por Carl Culmann. En 1882, desarrolló el método gráfico en dos dimensiones para el análisis de tensión conocido como círculo de Mohr y lo usó para proponer la nueva teoría de resistencia de materiales, basada en el esfuerzo cortante. También desarrolló el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y la teoría de Maxwell-Mohr para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Se retiró en 1900 y murió en Dresde en 1918

Círculo de Mohr

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

El eje X muestra los valores de los esfuerzos normales en los puntos en que corta el circulo (ó1 y ó2). La línea paralela al eje Y que pasa por el centro del círculo muestra los esfuerzos de corte máximo y mínimo al intersecarse con el círculo.

Para graficar el círculo de Mohr se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Se deben calcular los esfuerzos principales .σx , σy , σz y σxy

σ= Fx/A σy=Fy/A σz=Fz/A

2. Dibujar un plano cartesiano con escalas iguales tanto en X como en Y.

3. Ubicar los puntos

A(σx, σxy) y B(σy, -σxy).

4. Trazar una línea que una los puntos A y B.

5. Encontrar el centro del círculo con la ecuación:

σc= (σx + σy)/2

6. Hallar el radio del círculo:

7. Trazar el círculo.

8. Identificar los puntos extremos.

Se dibuja un punto en X de coordenadas σx y σxy, y un punto Y de coordenadas óy y -óxy.

Se traza una línea uniendo los puntos X y Y, la cual define el punto de intersección con el eje X (o Sigma) y se dibuja el circulo con centro en C, con diámetro XY. Al observar que la abcisa de C y el radio del círculo son respectivamente iguales a las cantidades ómed y R.

Las abscisas de los puntos A y B en donde el círculo interseca el eje ó representan respectivamente los esfuerzos principales σmax y σmin en el punto considerado.

Ejemplo.

-Trace el círculo de Mohr para:

Solución

σx=200 Pa

σy=-100 Pa

σxy=50 Pa

A(200,50) B(-100,-50)

σc=(200 - 100)/2 = 50 Pa

r=((150^2)+(50^2))^(1/2)= 158.11

Circunferencia de Mohr para esfuerzos

• Caso bidimensional

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (τ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

• Centro del círculo de Mohr:

• Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

• Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

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