Trigonometria

RECTA REAL

Definimos los números reales como la unión entre los números racionales e irracionales. El conjunto de números reales lo denotamos por R. Por la propia definición tenemos Q⊆R.

Los números reales llenan completamente la recta, de tal forma que todos los números reales se pueden representar en la recta y, recíprocamente, a todos los puntos de la recta se les puede asignar un número real. De aquí sale el nombre de recta de números reales, o simplificando, recta real que se utiliza haciendo referencia a la recta como conjunto de números.

En dicha recta, entre dos racionales siempre hay un irracional, y racionales e irracionales están siempre tan próximos como queramos.

DESIGUALDAD

Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;

• La notación a > b significa a es mayor que b;

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

INECUACIONES LINEALES

Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo:

3 + 5x ≥ 18 -2(x + 3) < -9.

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Las siguientes expresiones representan inecuaciones cuadráticas:

x2 + 2x < 15 x2 ≥ 2x + 3.

Una inecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación. De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones anteriormente mencionadas sería:

x2 + 2x – 15 < 0 x2 – 2x – 3 ≥ 0.

A continuación pasos para resolver inecuaciones cuadráticas:

1. Escribe la inecuación en forma estándar.

2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.

3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos. Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica. Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.

4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la inecuación. El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.

5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.

VALOR ABSOLUTO O MÓDULO

El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto es una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

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