TRIGONOMETRIA

Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad del triángulo es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. 1

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

donde a, b y c son los lados

9. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El nº complejo puede representarse geométricamente con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, por el punto , con lo que se establece biyección entre los números complejos y los puntos del plano euclídeo.

Al punto se le llama afijo del complejo

Cuando el plano se utiliza para representar números complejos, se le designa por plano complejo o plano .

Al eje de las x se le llama eje real y al eje de las y se le llama eje imaginario.

La representación de los números complejos en el plano recibe el nombre de diagrama de Argand.

Al complejo se le designa así como punto o también como vector , un vector con origen el de coordenadas y extremo el punto , y cualquiera obtenido de él por traslación.

Con esta representación, la adición de complejos, puede considerarse como una suma vectorial.

Así la suma de con se corresponde con el punto , y por tanto con el vector suma de los y .

Análogamente está representado por el vector desde a .

La longitud o norma del vector es el módulo del complejo . La distancia entre los puntos y es .

El estará determinado por el punto simétrico de z, respecto al eje real. El simétrico de , respecto al eje real. El simétrico respecto al eje imaginario es .

Con esta interpretación geométrica, la desigualdad triangular y la identidad: se convierten en sencillos teoremas geométricos.

Análogamente está representado por el vector desde a .

Representación polar[editar]

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; o es la expresión polar del punto.

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

3. 2. 1 Representación geométrica de números complejos

Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas.

Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. A cada número complejo Z = a + bi, se le asocia el punto del plano, P(a , b).

De esta forma, se obtiene una representación geométrica o Diagrama de Argand de Z, ver la figura:

En esta representación, la componente real de Z se copia sobre el eje X, que será llamadoeje real y la componente imaginaria sobre el eje Y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano Complejo.

Ejemplo. El complejo Z = 4 + 5i se puede representar en el Plano Complejo, para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4, 5). Una vez hecho esto se tendrá la representación de Z, ver la figura siguiente:

Números complejos en forma polar

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

Ejemplos

Pasar a la forma polar:

z = 260º

z = 2120º

z = 2240º

z = 2300º

z = 2

z = 20º

{Teoría}Números complejos (Aplicación de la forma polar)

Publicado el 14/04/2012| 1 Comentario

Tras haber visto los temas anteriores (parte 1, parte 2 y parte 3), es hora de ver alguna de las aplicaciones de la forma polar.

La principal utilidad de la forma polar es que facilita mucho el cálculo de ciertas operaciones. A continuación veremos como se

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