Trigonometria

INTRODUCCIÓN

La trigonometría es una de las partes de la Matemática que tiene más aplicaciones. Sirve para calcular longitudes cuando lo fácil es medir ángulos y medir ángulos a partir de longitudes.

Al realizar ese trabajo además de aprender un poco de trigonometría y muchas cosas más, de las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.

La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones. El presente trabajo constituye una propuesta para la enseñanza de las funciones trigonométricas seno y coseno utilizando la metodología de estudio de casos y haciendo énfasis en la importancia de la visualización como un proceso inherente a la actividad matemática, destacándose el aspecto de variación de estas funciones para el análisis de las situaciones diseñadas

1.- Circunferencia trigonométrica

Es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares (x; y) cuyo centro coincide con el origen de dicho sistema. Esta circunferencia tiene como característica fundamental, el valor del radio que es la unidad (R=1). Esta circunferencia trigonométrica sirve para representar a las líneas trigonométricas.

Es la circunferencia con centro situado en el origen de los ejes de un sistema de coordenadas y de radio igual a la unidad

Teniendo en cuenta la definición de circunferencia trigonométrica, si la medida del radio de la circunferencia es 1, la expresión de la función seno es:

sen α = PM = y = y,

OP 1 y la expresión de la función coseno es: cos α = OM = x = x.

OP 1 entonces el sen α = y y el cos α = x

2.- Funciones Trigonométricas:

1.- Seno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la ordenada “y” del punto P, es decir:

Seno (α) = y

Sen α = y

2.- Coseno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la abscisa “x” del punto P, o sea:

Coseno (α) = x

Cos α = x

3.- Tangente: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la razón entre la ordenada “y” y la abscisa “x” del punto P.

Tangente (α) =

Tg α =

4.- La Cotangente: es la función inversa de la tangente, es decir:

Cotangente (α) =

Ctg α = ó Ctg α =

5.- La Secante: es la función inversa del coseno, por tanto:

Secante (α) =

Sec α = ó Sec α =

6.- La Cosecante: es la inversa de la función seno, o sea:

Cosecante (α) =

NOTA: Las funciones Seno y Cosecante son inversas. También son inversas las funciones Coseno y Secante. Finalmente son inversas las funciones Tangente con Cotangente.

Esto es:

3.- Relaciones entre las funciones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí. Para deducir esas relaciones basta tener en cuenta que en todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras. Con estas relaciones, conocida una de las razones trigonométricas podremos calcular las otras de manera exacta.

La relación fundamental de la trigonometría es:

1.

2.

3.

4.

5. sen2cos21 6. sen21 -cos2 7. cos21 - sen2 8.

9.

10. sec2  = 1 + tg2 11. cosec2  = 1 + cotg2

Algunas demostraciones

1. Por demostrar

queda entonces demostrado.

2. Por demostrar

3. Ahora te mostraremos el desarrollo que nos llevo más tiempo y sólo por no estar atentos a los "pequeños" detalles.

Por demostrar sen2a + cos2a = 1

sen2a + cos2a = 1

Aquí fue donde topamos. Algunos se dieron cuenta, otros tuvimos que recurrir a nuestro "sabelotodo", el cual nos recordó "amablemente" al señor Pitágoras y su famoso a2 + b2 = c2, entonces

1 = 1

4.- Las funciones trigonométricas de ángulos relacionados

Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre sí:

EJEMPLO:

Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

5.- Reducción al primer cuadrante

Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.

Consiste en expresar la función trigonométrica de un ángulo del 2º, 3º o 4º cuadrante, mediante un ángulo del 1º cuadrante.

Para entender la reducción, hay que tener en cuenta el signo de cada función en cada cuadrante. Hay una regla simple para recordarlos:

1º cuadrante: todos positivos

2º cuadrante (S: segundo) ==> (S)eno positivo

3º cuadrante (T: tercero) ==> (T)angente positiva

4º cuadrante (C: cuarto) ==> (C)oseno positivo

Sea α un ángulo del primer cuadrante.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS. El suplementario de α

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