Trigonometria

Trigonometría

Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Índice [ocultar]

1 Historia

2 Unidades angulares

3 Las funciones trigonométricas

3.1 Razones trigonométricas

3.2 Razones trigonométricas inversas

4 Equivalencia entre las funciones trigonométricas

4.1 Otras funciones trigonométricas

4.2 Funciones trigonométricas recíprocas

5 Valor de las funciones trigonométricas

6 Sentido de las funciones trigonométricas

6.1 Primer cuadrante

6.2 Segundo cuadrante

6.3 Tercer cuadrante

6.4 Cuarto cuadrante

7 Representación gráfica

8 Cálculo de algunos casos

8.1 Para 90-α

8.2 Para 90+α

8.3 Para 180-α

8.4 Para 180+α

8.5 Para 270-α

8.6 Para 270+α

8.7 Para -α

9 Identidades trigonométricas

9.1 Recíprocas

9.2 De división

9.3 Por el teorema de Pitágoras

10 Seno y coseno, funciones complejas

11 Véase también

12 Referencias

13 Bibliografía

14 Enlaces externos

Historia[editar]

Artículo principal: Historia de la trigonometría

Tablilla babilonia Plimpton 322.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.

Papiro de Ahmes

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.

Unidades angulares[editar]

En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

TransportadorR.svg TransportadorG.svg TransportadorC.svg

Transportador en radianes. Transportador en grados sexagesimales. Transportador en grados centesimales

Las funciones trigonométricas[editar]

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas[editar]

Trigono b00.svg

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo \alpha \, , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

\sin \, \alpha =

\frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} =

\frac{a}{c}

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

\cos\alpha =

\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} =

\frac{b}{c}

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

\tan\alpha =

\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} =

\frac{a}{b}

Razones trigonométricas inversas[editar]

Artículo

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