UNIDAD 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

UNIDAD 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

PROBLEMA INICIAL.-

Analicemos qué sucede con la función                f (x)=         cuando x = 2   Si reemplazamos  x = 2 directamente en la función, queda la forma indeterminada    .  Podemos saber qué pasa con la función muy cerca de x=2 entonces completemos las siguientes tablas[pic 1][pic 2]

 Valores de x por la izquierda            

        0             1             2               3[pic 3]

             (1.92 – 4)(1.9 – 2) = 3.9

Valores por la derecha

(2.52 – 4)( 2.5 – 2) = 4.5

A través de la tabla podemos deducir que la función  “se acerca”  a 4  cuando   “x  se acerca a 2” por ambos lados.

Esto define el Límite de la función y se escribe :

  = 4      “ se lee : “el límite de f es igual a 4 cuando x tiende a 2”[pic 4]

Para no tener que calcular el límite a través de tablas usaremos métodos algebraicos. Uno de estos métodos es la factorización.

Factoricemos la función y simplifiquemos:[pic 5]

f (x)=     =  = x +2     al aplicar ahora el límite a la expresión que quedó luego de simplificar, se tiene:[pic 8][pic 6][pic 7]

  = 2+ 2 = 4               (se reemplazó la x por 2)[pic 9]

OTRO EJEMPLO.-

Determinar el  LÍM ITE   DE       F(X) =      CUANDO X TIENDE A 3 [pic 10]

Si reemplazamos directamente en la función queda :     F(x=3) =    que es una forma indeterminada, luego debemos aplicar la técnica de factorizar  y luego simplificar como se muestra a continuación:[pic 12][pic 11]

 =    =  =  = .[pic 19][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Luego el límite    =   [pic 20][pic 21]

Tipos de factorización .-    

  x2 – y2 = (x+y)(x-y)

X2 + 2x y + y2 = (x + y)2

X2 – 2xy + y2 = (x - y)2

X2 +bx + c = (x + p)(x + q)    

donde p , q  son números que cumplen  p*q = c ;    p+ q= b

x3 + y3 = ( x + y)( x2 – xy + y2)

x3 – y3 = (x –y )(x2 + xy + y2)

Ejercicios.-

Determine los siguientes límites.-

1.   =   = = [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

1.  = = = [pic 31][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Entonces el  límite de la función f(x) = cuando x tiende a  2     es = [pic 32][pic 33]

1.   = [pic 34]

=  -  =  = [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

 = [pic 39][pic 40]

 =    no se pudo eliminar la indeterminación, por lo tanto esta función no tiene límite cuando x tiende a -2[pic 41][pic 42]

[pic 43]

1.  =  =  =  = 0[pic 49][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

1.  =        usar : x3 – y3 = (x –y )(x2 + xy + y2)[pic 50]

 =  =     =    [pic 55][pic 56][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

1.    =   al reemplazar la x inmediatamente por 1, la expresión no se indetermina por lo tanto su límite es directo    =    = 4[pic 57][pic 58][pic 59]

1.  =  = 2*-1 – 3 [pic 62][pic 63][pic 60][pic 61]

= - 5

Para funciones que contienen raíces , la técnica , para calcular el límite , es la racionalización. La racionalización permite eliminar una raíz convenientemente. Para esto , se multiplica por la misma raíz de manera que se forma un cuadrado y sabemos que , en general:

  ( )2 =    =  a[pic 64][pic 65]

Para expresiones racionales  (fraccionarias)  se amplifica por el conjugado del numerador o denominador. Recordar que el conjugado de una expresión de la forma :

...