Uso de las ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento del Covid-19

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MONOGRAFÍA

Matemática

Uso de las ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento del Covid-19

¿La ecuación logística es capaz de predecir el comportamiento del COVID-19 en la provincia de Pichincha en el Ecuador?

Kevin Ramírez

Ing. María Eugenia Alexandra Almeida Castro

4447 palabras

INTRODUCCION:

Uno de los más importantes inconvenientes a los que se ha enfrentado la humanidad durante la historia es el de las pandemias. En el instante de redactar este trabajo, el mundo se enfrenta a una enfermedad pandémica causada por uno de los tipos de coronavirus, esta patología se lo conoce principalmente como "Covid-19". Sin embargo, una vez que requerimos conocer o entender, ejemplificando, la conducta de una población o inclusive el de una pandemia, partimos de los datos y cálculos existentes, de las ecuaciones para descubrir una razón lógica. A lo largo de este estudio, tenemos la posibilidad de nombrar al matemático Verhulst que, debido a su enfoque de "ecuación logística", va a ser la base de esta indagación para modelar la enfermedad del Covid-19. Para conceptualizar la ecuación logística, primero se debe comprender el crecimiento logístico, que se modela por medio de un aumento exponencial en el cual existe una etapa y una capacidad de carga en la población y que al final se estabiliza. Ya que el planeta completo se vio perjudicado por Covid-19 y esto ha puesto antes que nada a la salud pública y al gobierno bajo presión, es fundamental conocer u obtener estimaciones o predicciones del contagio, debido a que es un elemento fundamental para la toma de elecciones. Finalmente, un punto fundamental en este trabajo es la modelización matemática, por lo cual es indispensable conocer los modelos matemáticos que han existido durante la historia para cada pandemia que ha vivido la humanidad.

Este tema me intereso principalmente para poder entender a la pandemia y a los contagios que se daban en el Ecuador, también para poder aplicarlo en mi colegio, ya que era un hecho que al regresar a clases presenciales iba a ver un infectado así que me pareció interesante predecir el numero de contagios que habría en la escuela si se daba un caso de Covid-19. El tema se lo abordara primero demostrando la historia de la ecuación logística, quien la planteo, en donde se puede usar y también cual es su gráfica. Después es importante conocer las pandemias que ha vivido la humanidad así que abordare el tema de la historia de las pandemias y como modelaron y con cuáles fueron los modelos matemáticos usados para esas pandemias. Y finalmente estudiar el proceso de la ecuación logística paso por paso y plantear un problema hipotético y después aplicarlo con

los datos de la provincia de Pichincha para así encontrar la respuesta a mi pregunta de investigación. Por último, este tema tiene una gran utilidad en mi vida ya que al estar cursando 3ro de Bachillerato me ha ayudado a entender más sobre cálculo e incluso para poder entender que la Matemática es útil, fundamental y se usa en muchos aspectos de la vida

Pregunta de investigación:

¿La ecuación logística es capaz de predecir el comportamiento del COVID-19 en la provincia de Pichincha en el Ecuador?

Ecuación Logística: Historia

La ecuación Verhulst fue publicada por primera vez por Pierre François Verhulst en 1838 después de haber leído el Ensayo sobre el principio de población de Thomas Malthus. Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica. Nació en Bruselas el 28 de octubre de 1804 y falleció el 15 de febrero de 1849 en la misma ciudad. (mechanism.ucsd.edu, 1995)

“Uno de los patrones de crecimiento más simples observados en las poblaciones naturales se conoce como crecimiento logístico y se representa con una curva sigmoidea, o en forma de S.” (Redalyc.org, 2010, pág. 3)

Como ocurre con el crecimiento exponencial, hay una fase de establecimiento inicial en que el crecimiento de la población es relativamente lento, seguida de una fase de aceleración rápida. Luego, a medida que la población se aproxima a la capacidad de carga del ambiente, la tasa de crecimiento se hace más lenta) y finalmente se estabiliza, aunque puede haber incertidumbres alrededor de la capacidad de carga. La función logística o curva logística es una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. (Redalyc.org, 2010, pág. 3)

Con la función logística se pueden modelar:

• Crecimiento poblacional en un ambiente con recursos limitados.
• Ventas de un producto donde el total de venta tiene límite.
• Tiempo de respuesta a medicamentos en pacientes.
• La población de animales en una isla.
• El número de bacterias en una caja de Petri. (Redalyc.org, 2010, pág. 4)

Parámetros:

𝑷(𝒕) = representa el número de organismos, población existente, en un tiempo “𝑡” determinado. Mientras que “𝑒” es la base del logaritmo natural, aproximadamente 2.7183.

𝒌 = Es la capacidad de carga, del ambiente, generalmente. Así pues, teóricamente es el valor que determina la línea o nivel de saturación del sistema.

𝑷𝟎 = Determina la población inicial que presenta el sistema. La población inicial deberá ser menor que la capacidad de carga, teórica, del ambiente o lo que es lo mismo a la población máxima.

(Redalyc.org, 2010, pág. 4)

Función sigmoide:

La función sigmoide es una función matemática que produce una curva sigmoide; una curva que tiene una tendencia "S”. A menudo, la función sigmoide se refiere a un caso especial de función logística y se define por la fórmula: (Kripkit, s.f)

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𝑃(𝑡) = 1 + 𝑒−𝑡[pic 2]

Generalmente, una función sigmoide es una continua, que tiene una primera derivada no negativa y tiene un mínimo local y un máximo local. (Kripkit, s.f)

Propiedades:

En general, una función sigmoide es una función real de variable real diferenciable, de la forma general: (cin.ufpe.br, 1997, pág. 97)

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