Variado informe de matematica

INTRODUCCION

Para ilustrar el concepto de ecuación diferencial y su relación con distintas ramas de las ciencias, vamos a analizar en este apartado una serie de problemas prácticos donde las ecuaciones diferenciales surgen de forma natural. Aprovecharemos para introducir algunas definiciones que formalizaremos más adelante.

En el estudio de fenómenos reales en los que se analiza un cambio o una variación, aparecen ecuaciones que relacionan determinadas funciones y sus derivadas. A este tipo de ecuaciones se les denomina ecuaciones diferenciales.

La información que se obtiene a partir de estas ecuaciones nos permite predecir cómo va a evolucionar el modelo que se está estudiando. En particular, la solución de la ecuación diferencial es una función que representa una cantidad cuya variación estamos analizando. Esta información se puede obtener de una manera explıcita, cuando se obtiene la solución de la ecuación diferencial analíticamente. Pero esto no siempre es posible, por ello recurrimos a otras técnicas como el cálculo numérico, que nos permite obtener aproximaciones, que permite analizar el comportamiento de las soluciones aunque la expresión de estas no sea conocida.

OBJETIVOS

• Ver como surgen las ecuaciones diferenciales al describir o hacer modelos conocidos de determinados problemas.
• Clasificar las ecuaciones diferenciales.
• Estudiar los diferentes tipos de soluciones que se pueden obtener.
• Analizar la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.

REVISION LITERARIA

        DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL

        Una ecuación diferencial es aquella que involucra una función junto con sus derivadas y la variable o variables de la que depende; Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida (la variable dependiente), las variables de las que depende (variables independientes) y sus derivadas respecto de estas variables independientes: En las ecuaciones diferenciales pueden aparecer ciertos términos constantes, relacionados con el problema, que reciben el nombre de parámetros. Por ejemplo, las constantes k, m y g.

Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grupos:

• Las ecuaciones diferenciales ordinarias: son aquellas en las que la función incógnita depende de una sola variable independiente, y = y(x), y tienen la forma:

F (x, y, y’, y”, · · ·) = 0.

• Las ecuaciones en derivadas parciales: son aquellas en las que la función incógnita depende de varias variables; por tanto, relacionan la función, sus variables y las derivadas parciales de dicha función.

CALCULO ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA

Se llama envolvente de una familia de curvas a una curva que es tangente toda la familia y que en cada punto de la envolvente existe un único miembro de la familia tangente a ella.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

La resolución de ecuaciones diferenciales en términos de funciones analíticas no es inmediata, especialmente si no son lineales. Sin embargo, en el caso de las ecuaciones de primer orden existen ciertos tipos especiales de ecuaciones que admiten métodos sencillos para resolverlas. Dada una ecuación diferencial, tendremos que distinguir de qué tipo de ecuación se trata y saber cuál es el método que nos va a permitir resolverla. Para ello, veamos cuales son las distintas formas en que se nos puede presentar una ecuación diferencial de primer orden:

Forma general:         F (x, y, y’) = 0.

Forma normal:         dy/dx = f (x, y).

Forma diferencial:        M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0.

CALCULO DE ECUACIONES DE VARIABLES SEPARADAS

• En el caso más simple de la ecuación dy/dx = f (x), es fácil obtener la solución mediante integración indefinida:      y = f (x) dx + C
• Las ecuaciones separables o de variables separadas son ecuaciones diferenciales de la forma f(y) dy = g(x)dx
• El método de resolución consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad e integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente. Es decir: f(y) dy = g(x)dx

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

• Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas que pueden escribirse de la forma: [pic 1]

• Este tipo de ecuaciones se reducen a una variable tras el cambio  , o es lo mismo que . Derivando según la regla de la cadena se obtiene.[pic 2][pic 3]

        [pic 4]

        ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

• Así se le llama a la siguiente ecuación: , donde las funciones p(x) y f(x) se consideran continuas. Si f(x)=0, la ecuación es homogénea, caso contrario es no homogénea. Para resolverlos se le multiplica por la expresión , con lo que obtenemos:[pic 5][pic 6]

        , integrando ambos miembros resulta…[pic 7]

         → [pic 8][pic 9]

        ECUACIONES DIERENCIALES EXACTAS

• Una ecuación diferencial: ; se dice exacta si su primer miembro es la diferencial total de cierta función , es decir [pic 10][pic 11]

[pic 12]

• Una condición necesaria para que la ecuación , sea una diferencial exacta es que verifique .[pic 13][pic 14]
• La forma de resolver es la siguiente:   y  [pic 15][pic 16]
• Podemos llegar a determinar u(x,y), mediante la integración de M(x,y) respecto a x, o bien mediante la integración de N(x,y) respecto a .
• En el primer caso tendríamos: , donde y se considera constante y quedaría así: .[pic 17][pic 18]
• En el segundo caso tendríamos: , donde x se considera constante y quedaría así: .[pic 19][pic 20]

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

• En las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden tenemos  varios campos de aplicación estos son algunos ejemplos:
• Aplicaciones geométricas
• Problemas de desintegración radiactiva
• Problemas de crecimiento poblacional
• Problemas de reacciones químicas
• Problemas de mezclas
• Problemas de temperatura
• Caída de un cuerpo en un medio resistente

A partir de acá solo resolveremos solo un ejercicio por cada uno de las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

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