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APERTURA

DEFINICIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR Y DE MACLAURIN DE GRADO n.

Si [pic 1] tiene [pic 2] derivadas en [pic 3], entonces el polinomio

[pic 4]

se llama polinomio de Taylor de grado [pic 5] para [pic 6] en el punto [pic 7]. Si [pic 8], entonces

[pic 9]

también se llama polinomio de Maclaurin de grado [pic 10] para [pic 11].

Polinomio de Taylor en dos variables de grado dos:

[pic 12]

EJEMPLO:

1. Dada la función [pic 13] encontrar el polinomio de Taylor de grado 2 alrededor del punto [pic 14].
2. Dado el polinomio [pic 15] de grado 2  encontrar la matriz [pic 16] tal que se cumple [pic 17].

BOSQUEJO DE LA DEMOSTRACIÓN DEL CRITERIO DE SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES

Supondremos que [pic 18] y que [pic 19]. (Si no se cumplen estas condiciones, podemos trasladar la gráfica, sin alterar su forma, para hacer que se cumplan estas condiciones y luego regresar la gráfica). Para [pic 20] cerca de [pic 21], la función [pic 22] se comporta de forma muy parecida al polinomio de Taylor de segundo orden alrededor de [pic 23], esto es:

[pic 24]

[Una demostración rigurosa tomaría en cuenta el residuo al utilizar [pic 25] para aproximar [pic 26]]. Con la condición de que [pic 27] y la condición [pic 28], el polinomio de Taylor de segundo orden se reduce a

[pic 29]

Al asignar [pic 30], [pic 31] y [pic 32] se escribe

[pic 33]

Al completar el cuadrado en [pic 34] se obtiene

[pic 35]

La expresión [pic 36] es positiva para todo [pic 37] excepto [pic 38]. Si [pic 39], es decir, si [pic 40], entonces la expresión en corchetes será positiva para todo [pic 41]. Si, además [pic 42], entonces [pic 43] para [pic 44], en cuyo caso [pic 45] es un mínimo local. Cuando [pic 46] y [pic 47] entonces la gráfica de [pic 48] para [pic 49], en cuyo caso [pic 50] es un máximo local. Cuando [pic 51], entonces la gráfica de [pic 52] es un paraboloide (rotado) con vértice en [pic 53] que abre hacia arriba, si [pic 54], y hacia abajo si [pic 55].

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