Vibraciones mecánicas. Series de Fourier

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INGENÍERIA MECÁNICA

VIBRACIONES MECANICAS

UNIDAD. 1

ACTIVIDAD 2.

SERIE DE FOURIER

PRESENTA

No. Control

Asesor

 México, a 20 de febrero de 2024.

Las series de Fourier son una herramienta matemática fundamental en el análisis de Fourier. Estas series nos permiten descomponer funciones periódicas en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples, como combinaciones de senos y cosenos con frecuencias enteras.

Jean-Baptiste Joseph Fourier, el matemático francés del siglo XIX, es quien da nombre a estas series. Su objetivo es representar funciones periódicas en términos de funciones senoidales y cosenoidales. Las series de Fourier nos permiten modelar esa señal mediante una combinación de senos y cosenos3.

Las series de Fourier se expresan de la siguiente manera:

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Donde:

(f(x)) es la función periódica que queremos analizar.

() es el término constante.[pic 5]

() y () son los coeficientes de Fourier que determinan la amplitud de las componentes senoidales y cosenoidales.[pic 6][pic 7]

Estas series son esenciales en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales, como la ecuación de onda y la ecuación de calor.  Las series de Fourier nos permiten descomponer funciones complejas en componentes más simples y entender mejor los fenómenos periódicos en física y la ingeniería

SERIE DE FOURIER

Definición y algoritmo de calculo de la serie de Fourier

Sea [pic 8]

Donde  es la frecuencia fundamental.[pic 9]

Se llaman coeficientes de Fourier a:  Hay que tener en cuenta que tanto  hacen referencia a infinitos términos ya que como se ven en la expresión de la serie de Fourier el sumatorio va 1 hasta n. [pic 10][pic 11]

Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

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Figura 1. Aproximaciones para una función periódica

MÉTODO ANALÍTICO

Toda función  periódica de periodo p, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir, [pic 13]

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Donde el periodo  son los denominados coeficientes de Fourier. Conocida la función periódica , calculamos los coeficientes  del siguiente modo.[pic 15][pic 16][pic 17]

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Las integrales tienen como límite inferior  y como limite superior .[pic 21][pic 22]

En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2P, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= w t, tendremos periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función .[pic 23]

Definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma más simple

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Donde

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Figura 2. Ejemplo de serie de Fourier

MÉTODO NUMÉRICO

Sea  una función periódica de periodo T, se puede expresar como la siguiente serie trigonométrica:[pic 29]

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Siendo , la frecuencia angular del primer armónico. El termino  se llama “componente de continua “mientras que cada término de la sumatoria es denominado n-ésimo armónico.[pic 31][pic 32]

Los coeficientes  pueden deducirse utilizando las propiedades ortogonales del seno y el coseno. Para deducir  hay que multiplicar la ecuación 1 por cos (m) e integrar en un periodo. Para deducir   hacer lo mismo con la función seno. Nótese que  es un caso particular de  pero se pone la ecuación de todas maneras por que hay veces donde  no tiene sentido para n=0.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

0=2T∫T2−T2f(t)dt

an=2T∫T2−T2f(t)cos(nw0t)dt

bn=2T∫T2−T2f(t)sin(nw0t)

Propiedades según forma de onda

Estas son algunas propiedades que permite agilizar el proceso de calcular coeficientes de una serie trigonométrica.

• Si   es par y periódica con periodo T la serie de Fourier solo consta de los coeficientes [pic 40][pic 41]

 f(t)=a02+∑n=1∞ancosnw0t

• Si   es impar y periódica con periodo T la serie de Fourier solo consta de los coeficientes [pic 42][pic 43]

f(t)=∑n=1∞bnsinnw0t

• Si    tiene simetría de media onda, los armónicos pares (n par) se anulan.[pic 44]

Propiedades finitas de Fourier

Se le define igual a , es decir: [pic 45]

F ̊{f(t)}=F(nw0)=Cn=1T∫T2−T2f(t)e−jnw0tdt

Propiedades de la Transforma finita de Fourier

•  Propiedad de linealidad: Si a1 y a2 son dos constantes arbitrarias

• Propiedad de la derivada:

F ̊{f′(t)} =jnw0F ̊{f(t)}

• Propiedad de la integral:

F ̊{∫t−T2f(τ)dτ} =1jnw0F ̊{f(t)}

• Desplazamiento en el tiempo: Si a es una constante

F ̊{f(t−a)} =F ̊{f(t)}e−jnwoa

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