Tipos de Ecuaciones Diferenciales y su soluciones

I.- Mencione el tipo, orden, grado y si es lineal o no.

   1.- . Solución: es una ecuación diferencial ordinaria porque la variable independiente  es única, de segundo orden por la , de primer grado porque el exponente de la  es 1 y no es lineal porque la variable dependiente tiene exponente mayor a 1.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

   2.- . Solución: es una ecuación diferencial ordinaria porque la variable independiente  es única, de cuarto orden por la  , de primer grado porque el exponente de la mayor derivada es 1, es lineal porque la función seno no afecta a la variable dependiente .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

   3.- . Solución: es una ecuación diferencial parcial porque no tiene variable independiente única, de segundo orden por las dobles derivadas, de grado ND porque es parcial y no lineal porque es parcial.[pic 9]

   4.- . Solución: es una ecuación diferencial ordinaria porque la variable independiente  es única, de primer orden, de grado 1 porque el exponente de la derivada es 1 y sí es lineal porque ninguna función trascendental afecta a la variable dependiente .[pic 10][pic 11][pic 12]

   5.- . Solución: es una ecuación diferencial ordinaria porque la variable independiente  es única, de segundo orden por la segunda derivada, de primer grado porque el exponente de la derivada es 1, no es lineal porque el coeficiente de la variable dependiente  no depende únicamente de la variable independiente [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

II. Comprueba que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial respectiva:

a)                 [pic 17][pic 18]

Comprobación:

Comenzamos derivando [pic 19]

, luego sustituimos los valores en la ecuación diferencial:[pic 20]

[pic 21]

Esto es igual a , por último, pasamos todos los términos a un mismo lado de la igualdad: , realizando el álgebra nos queda: .[pic 22][pic 23][pic 24]

Por lo que queda comprobado que la función  es solución de la ecuación diferencial .[pic 25][pic 26]

b)                         [pic 27][pic 28]

Debemos derivar dos veces la función solución , entonces:[pic 29]

         y        , luego sustituimos en la ecuación diferencial dada:[pic 30][pic 31]

 , lo cual no es una identidad. Por lo tanto, concluimos que la función  no es solución de la ecuación diferencial . [pic 32][pic 33][pic 34]

c)         [pic 35][pic 36]

Comprobación:

, ,    [pic 37][pic 38][pic 39]

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

[pic 40]

Simplificamos:

[pic 41]

Llegamos a la identidad: , por lo tanto  sí es solución de la ecuación diferencial .[pic 42][pic 43][pic 44]

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