Leyes De La Logica

Las leyes aquí expuestas son, en realidad, explicadas e ilustradas a la perfección por una teoría matemática denominada Álgebra de Boole. Considerando que muchos podrían suponer erróneamente (y aprehender la idea de) que la notación matemática no puede despertarles más que tedio, consideraré en la posibilidad de expresarlo mediante palabras.

Aquél que desee comprobar la validez de algunas operaciones mentales (especialmente del reconocimiento de implicaciones [lo cual permite evitar redundancia mediante la reducción del número de significantes en un enunciado, formular deducciones, evitar incongruencias…]) podrá observar en un apéndice las leyes de la lógica expresadas con un lenguaje matemático. El reto para estos será, mayoritariamente, la comprobación de algunas operaciones matemáticas; no obstante, reitero, esto es exclusivamente una opción que se ofrece; no la exigiremos, puesto que sus necesidades inmediatas tampoco lo hacen.

Partiremos de lo significado por la palabra “verdad”, pues de esto depende el resto de conceptos que aquí se emplearán. John Locke nos ofrece, en el Ensayo sobre el entendimiento humano, la definición de la palabra “verdad” como una relación de concordancia entre signos; específicamente, entre una proposición (construcción gramatical que enuncia una o varias características [ideas simples o ideas complejas]) y el conjunto de nombres particulares (pueden ser infinitos e incluso desconocidos por quien externa la proposición) que denotan a los entes o realidades con tales características.

Basándonos en lo anterior, a continuación, se intentará crear una noción certera del concepto “conjunto de verdad”, puesto que en torno a aquél se basa el estudio de las leyes de la lógica; a pesar de ello, se anticipa, no se definirá formalmente a un conjunto, pues la comprensión de su definición requiere de un alto nivel de abstracción. De manera reducida, puede considerarse a un conjunto de verdad como el conjunto de los elementos que satisfacen ciertas características que pueden ser denotadas en algunos enunciados (o proposiciones); inversamente puede decirse que de una proposición, el correspondiente conjunto de verdad es el conjunto de elementos significados por éste.

Unión de conjuntos de verdad.

La unión de conjuntos de verdad específicos consiste en el conjunto de elementos que satisfacen a cualquiera de las proposiciones que significan a los otros conjuntos de verdad. Por lo anterior, la unión de los conjuntos de verdad puede denotarse mediante una proposición que establezca una probabilidad equivalente de que se satisfaga cualquiera de las proposiciones precedentes.

Por ejemplo, supóngase como primera proposición: “es un joven que acostumbra dormir tarde”; el conjunto de verdad de esta proposición consistirá en todos los jóvenes que acostumbran dormir tarde. Análogamente, supóngase la segunda proposición: “es un joven que acostumbra escribir”; el conjunto de verdad consistirá en todos los jóvenes que acostumbran escribir. Ahora bien, la unión de los conjuntos de verdad será denotada por la proposición “es un joven que acostumbra dormir tarde o acostumbra escribir”, pues denota a todos los jóvenes que acostumbran dormir tarde y también a aquellos que acostumbran escribir.

Es evidente que cuando se escribe “acostumbra dormir tarde o acostumbra escribir” no referimos a que un mismo individuo haga una acción u otra de manera indistinta; por lo contrario, referimos a que el individuo denotado puede ser un joven que duerma tarde o un joven que acostumbre escribir.

Intersección de conjuntos de verdad.

Contrario a lo anterior, la intersección de conjuntos de verdad consiste en el conjunto de elementos que satisfacen estrictamente a ambas proposiciones que significan a los otros conjuntos de verdad. De este modo, ésta puede denotarse mediante una proposición que indique que se cumplen tanto las características de la primera proposición, como se cumplen las de la segunda.

Con el ejemplo anterior, puede escribirse a la intersección de la primera y la segunda proposición: “es un joven que acostumbra dormir tarde y acostumbra escribir”, pues con ello se denota estrictamente a los jóvenes que tienen ambas costumbres.

Supongamos una tercera proposición: “es un joven que duerme tarde y recuerda con añoranza cuando no dormía por embriagarse”. Evidentemente, esta es una proposición que denota a la intersección del primer conjunto de verdad y otro “nuevo”. La unión del conjunto de verdad de esta última proposición y la segunda, sería denotada mediante la proposición “es un joven que acostumbra dormir tarde y escribir, o bien, es un joven que acostumbra dormir tarde y recordar con añoranza cuando él no dormía por embriagarse” (esto se analizará pronto nuevamente). Por otra parte, la intersección entre la tercera proposición y la segunda, sería: “es un joven que acostumbra dormir tarde, escribe, además recuerda con añoranza cando él no dormía por embriagarse”.

Esperando que el planteamiento anterior sea suficiente para crear una noción aceptable sobre la naturaleza de los conjuntos de verdad, se procederá con la descripción de las leyes de la lógica.

I) Ley conmutativa: una variación en el orden de elementos en una coordinación no altera el sentido significativo de una proposición que la contenga. Puede notarse cuán influida está la etimología del verbo “conmutar”, en el sentido significativo de éste (considérese al morfema indoeuropeo kom-: junto a…, así como al verbo latino mutare: cambiar)

Los elementos de una coordinación (por la misma definición de “coordinación”) no pueden ser subordinados entre sí; es decir, todos los elementos tienen la misma importancia, son independientes entre sí, pero mantienen cierta homología que les hace compatibles en una serie (son elementos seriables). Una consecuencia bastante esperada de lo anterior es que no existan motivos por los cuales se perturbe el sentido significativo de una oración al alterar el orden de los elementos coordinados. Puede escribirse:

Los nexos de coordinación más usuales son los copulativos y los disyuntivos. Se intentará ilustrar adecuadamente lo anterior, con el fin de suprimir cualquier duda que pueda presentar el lector ante estos conceptos posiblemente nuevos.

Ejemplos de nexos copulativos son y, e, también, asimismo, así como. Por lo visto anteriormente, cuando las proposiciones son coordinadas por nexos copulativos, se denota a la intersección de sus conjuntos de verdad.

Los nexos disyuntivos más usuales (que tienen, en realidad, un sentido idéntico) son o y u. Cuando las proposiciones son coordinadas por nexos disyuntivos, se denota a la unión de sus conjuntos de verdad.

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