Marematicas Discretas

CONCEPTO DE RELACIÓN MATEMÁTICA

EL CONCEPTO DE RELACIÓN IMPLICA LA IDEA DE CORRESPONDENCIA ENTRE LOS ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS QUE FORMAN PAREJAS ORDENADAS.

CUANDO SE FORMULA UNA EXPRESIÓN QUE LIGA DOS O MÁS OBJETOS ENTRE SÍ, POSTULAMOS UNA RELACIÓN (NO NECESARIAMENTE MATEMÁTICA) POR EJEMPLO:

SAMUEL ES PADRE DE IRMA. (SAMUEL, IRMA)

DEL EJEMPLO ANTERIOR PODRÍAMOS DECIR MATEMÁTICAMENTE QUE:

S ---> I

PODEMOS DEFINIR LA RELACIÓN COMO LA CORRESPONDENCIA QUE HAY ENTRE TODOS O ALGUNOS DEL PRIMER CONJUNTO CON UNO O MÁS DEL SEGUNDO CONJUNTO.

PRODUCTO CARTESIANO

EN TEORÍA DE CONJUNTOS, EL PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS ES UNA OPERACIÓN QUE RESULTA EN OTRO CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON TODOS LOS PARES ORDENADOS QUE PUEDEN FORMARSE TOMANDO EL PRIMER ELEMENTO DEL PAR DEL PRIMER CONJUNTO, Y EL SEGUNDO ELEMENTO DEL SEGUNDO CONJUNTO.

POR EJEMPLO, DADOS LOS CONJUNTOS A = {1, 2, 3, 4} Y B = {A, B}, SU PRODUCTO CARTESIANO ES:

A × B = {(1, A), (1, B), (2, A), (2, B), (3, A), (3, B), (4, A), (4, B)}

EL PRODUCTO CARTESIANO RECIBE SU NOMBRE DE RENÉ DESCARTES, CUYA FORMULACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA DIO ORIGEN A ESTE CONCEPTO

UN PAR ORDENADO ES UNA COLECCIÓN DE DOS OBJETOS DISTINGUIDOS COMO PRIMERO Y SEGUNDO, Y SE DENOTA COMO (A, B), DONDE A ES EL "PRIMER ELEMENTO" Y B EL "SEGUNDO ELEMENTO". DADOS DOS CONJUNTOS A Y B, SU PRODUCTO CARTESIANO ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS PARES ORDENADOS QUE PUEDEN FORMARSE CON ESTOS DOS CONJUNTOS:

EL PRODUCTO CARTESIANO DE A Y B ES EL CONJUNTO A × B CUYOS ELEMENTOS SON LOS PARES ORDENADOS (A, B), DONDE A ES UN ELEMENTO DE A Y B UN ELEMENTO DE B:

¿A QUE SE LE LLAMA PRODUCTO CARTESIANO?

PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE EL PRODUCTO CARTESIANO UTILIZAREMOS LA REPRESENTACIÓN CARTESIANA QUE CONSISTE EN TRAZAR UNOS EJES PERPENDICULARES, EN EL EJE HORIZONTAL COLOCAREMOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO A Y EN EL EJE VERTICAL LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO B,LOS ELEMENTOS DEL PRODUCTO CARTESIANO LOS FORMAN LOS PUNTOS DE INTERCEPCIÓN QUE SE OBTIENEN AL TRAZAR POR LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO A PARALELAS AL EJE VERTICAL Y POR LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO B PARALELAS AL EJE HORIZONTAL.

¿CÓMO SE REPRESENTA EL PRODUCTO CARTESIANO?

PARA REPRESENTAR EL PRODUCTO CARTESIANO A X B, PODEMOS UTILIZAR DIAGRAMAS SAGITALES (DE FLECHAS) Y DIAGRAMAS CARTESIANOS; ASÍ POR EJEMPLO:

PROPIEDADES DE LA RELACIONES

LAS RELACIONES SE PUEDEN CLASIFICAR DE ACUERDO AL TIPO DE ASOCIACIÓN QUE HAY EN SUS ELEMENTOS COMO: UNO-A-UNO 1–1, UNO-A-MUCHO 1-M, MUCHOS-A-UNO M-1 O MUCHOS-A-MUCHOS M-M.

RECORDEMOS QUE UNA RELACIÓN ES UN CONJUNTO DE PARES ORDENADOS.

DEFINICIÓN: UNA RELACIÓN R DE A A B ES:

MUCHOS-A-UNO, M-1 SI EXISTEN DOS PARES CON EL MISMO SEGUNDO ELEMENTO, ESTO ES

EXISTEN (X,Y), (Z,Y) DISTINTAS EN LA RELACIÓN, CON SÍMBOLOS

(∃ X ∈ A)(∃ Y ∈ B)(∃ Z ∈ A) ((X,Y) ∈ R ^ (Z,Y) ∈ R ^ X ≠ Z)

UNO-A-MUCHOS ‘1-M’ SI EXISTEN DOS PARES CON EL MISMO PRIMER ELEMENTO, ESTO ES

EXISTEN (X, Y), (X,Z) DISTINTAS EN LA RELACIÓN, CON SÍMBOLOS

(∃ X ∈ A)(∃ Y ∈ B)(∃ Z ∈ B) ((X,Y) ∈ R ^ (X,Z) ∈ R ^ Y ≠ Z)

MUCHOS-A-MUCHOS ‘M-M’ SI ES MUCHOS-A-UNO Y UNO-A-MUCHOS. \\O SEA QUE HAY AL MENOS DOS PARES CON EL MISMO PRIMER ELEMENTO Y TAMBIÉN HAY DOS PARES CON EL MISMO SEGUNDO ELEMENTO.\\ O SEA QUE CUMPLE LAS DOS DEFINICIONES ANTERIORES.

UNO-A-UNO ‘1–1′ SI NO ES MUCHOS-A-UNO NI UNO-A-MUCHOS, O SEA QUE NO HAY DOS PARES CON EL MISMO PRIMER ELEMENTO Y NO HAY DOS PARES CON EL MISMO SEGUNDO ELEMENTO.

ESTO SIGNIFICA QUE CUMPLE LAS DOS CONDICIONES SIGUIENTES

(∀ X ∈ A)(∀ Y ∈ B)(∀ Z ∈ B)((X,Y) ∈ R ^ (X,Z) ISIN; R ⇒ Y = Z)

(∀ X ∈ A)(∀ Y ∈ B)(∀ Z ∈ A)((X,Y) ∈ R ^ (Z,Y) ∈ R ⇒ X = Z)

PROPIEDAD REFLEXIVA

UNA RELACIÓN BINARIA R SOBRE UN CONJUNTO A, ES REFLEXIVA O REFLEJA SI TODO ELEMENTO DE A ESTÁ RELACIONADO CONSIGO MISMO MEDIANTE R.

ES DECIR,

EN TAL CASO, DECIMOS QUE R CUMPLE CON LA PROPIEDAD DE REFLEXIVIDAD.

LA APLICACIÓN DE CUALQUIER RELACIÓN R SOBRE UN CONJUNTO A, SE REPRESENTA CON EL PAR ORDENADO (A, R).

CUANDO UNA RELACIÓN ES LO OPUESTO A UNA REFLEXIVA, ES DECIR, CUANDO NINGÚN ELEMENTO DE A ESTÁ RELACIONADO CONSIGO MISMO MEDIANTE R, ENTONCES DECIMOS QUE ES IRREFLEXIVA, ANTI REFLEXIVA O ANTIRREFLEJO, LO QUE DENOTAMOS FORMALMENTE POR:

EN ESTE CASO, DECIMOS QUE R CUMPLE CON LA PROPIEDAD DE ANTI REFLEXIVIDAD.

PROPIEDAD ASIMÉTRICA

UNA RELACIÓN BINARIA R SOBRE UN CONJUNTO A, ES SIMÉTRICA CUANDO SE DA QUE SI UN ELEMENTO ESTÁ RELACIONADO CON OTRO MEDIANTE R, ENTONCES ESE OTRO TAMBIÉN ESTÁ RELACIONADO CON EL PRIMERO.

ES DECIR,

EN TAL CASO, DECIMOS QUE R CUMPLE CON LA PROPIEDAD DE SIMETRÍA.

LA APLICACIÓN DE CUALQUIER RELACIÓN R SOBRE UN CONJUNTO A, SE REPRESENTA CON EL PAR ORDENADO (A, R).

CUANDO UNA RELACIÓN ES LO OPUESTO A UNA SIMÉTRICA, ES DECIR, CUANDO SE DA QUE SI UN ELEMENTO ESTÁ RELACIONADO CON OTRO MEDIANTE R, ENTONCES ESE OTRO NO ESTÁ RELACIONADO CON EL PRIMERO, ENTONCES DECIMOS QUE ES ASIMÉTRICA, LO QUE DENOTAMOS FORMALMENTE POR:

EN ESTE CASO, DECIMOS QUE R CUMPLE CON LA PROPIEDAD DE ASIMETRÍA.

PROPIEDAD TRANSITIVA

UNA RELACIÓN BINARIA SOBRE UN CONJUNTO ES TRANSITIVA CUANDO SE CUMPLE: SIEMPRE QUE UN ELEMENTO SE RELACIONA CON OTRO Y ÉSTE ÚLTIMO CON UN TERCERO, ENTONCES EL PRIMERO SE RELACIONA CON EL TERCERO.

ESTO ES:

DADO EL CONJUNTO A Y UNA RELACIÓN R, ESTA RELACIÓN ES TRANSITIVA SI: A R B Y B R C SE CUMPLE A R C.

LA PROPIEDAD ANTERIOR SE CONOCE COMO TRANSITIVIDAD.

EJEMPLOS ASÍ POR EJEMPLO DADO EL CONJUNTO N DE LOS NÚMEROS NATURALES Y LA RELACIÓN BINARIA

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