Distribucion Discreta

Tipos de distribuciones de probabilidad

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva.

Puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y se clasifican en discretas o continuas.

Distribuciones de probabilidad discreta

Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores. Se permite que una probabilidad discreta asuma únicamente un número limitado de valores. El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribución de probabilidad discreta sin importar si ésta se representa de forma gráfica mediante un histograma, en forma tabular o con una fórmula. A menudo, las observaciones que se generan en diferentes experimentos estadísticos tienen el mismo tipo general de comportamiento. En consecuencia, las variables aleatorias discretas asociadas con estos experimentos se pueden describir esencialmente con la misma distribución de probabilidad y por lo tanto se pueden representar mediante una sola fórmula. De hecho, se necesita solo un puñado de distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas de las variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica.

Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli(o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científicosuizoJakob Bernoulli quien las investigo a fines del siglo XVII, y publicado sólo en 1713, ocho año después de la muerte de su autor. Históricamente, significa el primer paso hacia la fundamentación racional del Cálculo de probabilidad y sus aplicaciones es una distribución de probabilidaddiscreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 -p).

Si Xes una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p.

La fórmula será:

f(x)=p^x.〖(1-p)〗^(1-x) conx=0,1

Su función de probabilidad viene definida por:

f(x;p){█(psix=1,@qsix=0,@0 encualquierotrocaso)┤

0<p<1

Este proceso lo describimos así:

Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.

La posibilidad del resultado de cualquier ensayo permanece fija con el tiempo.

Los nuevos ensayos son estadísticamente independientes; es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Algunas de las propiedades importantes de la distribución de Bernoulli se presentan a continuación:

Media E(X)=0•q + 1• p = p

Varianza Var(X)=E(X^2) – E(〖X)〗^2= E(X^2 )-μ^2=0^2.q+12.p-p^2=p(1-p)=pq

Coeficiente de asimetría =(q-p)/√pq

curtosis =(6p^2-6p+1)/(p(1-p))

Función generadora de momento =(q+〖pe〗^t )

Función característica (q+〖pe〗^it )

Moda:

0 siq>p (Hay más fracasos que éxitos)

1 siq<p (Hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 siq = p (Los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Una variable aleatoria de Bernoulli, por sí sola, tiene poco interés en las aplicaciones de ingeniería y ciencias. En cambio, la realización de una serie de pruebas de Bernoulli conduce a varias distribuciones de probabilidad discretas bien conocidas y útiles.

Demostración de la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

E[X]=μ=∑_(x=0)^1▒〖xP(X=x)=0.P(X=0)+1.P(X=1)=p〗

Var(X)=E[X^2 ]-(E[X] )^2=∑_(x=0)^1▒〖x^2 P(X=x)-p^2=0^2.P(X=0)+1^2.P(X=1)-p^2=p-p^2=p(1-p)=pq〗

La distribución Binomial

Es una de las distribuciones discretas de probabilidad más útiles. Sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones y otras. Se puede imaginar un experimento en el que el resultado es la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento. Sin pérdida de generalidad, llámese “éxito” a la ocurrencia del éxito y “fracaso” a su no ocurrencia. Además, sea p la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se lleva a cado 1-p la probabilidad de fracaso. Supóngase que el experimento se realiza en n veces, y cada uno de estos es independiente de todos los demás, y sea Xla variable aleatoria que representa el número de éxitos en los nensayos. El interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X= x éxitos durante los nensayos.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0,1,2,3,4,...,n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobrek).

La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial

Las dos suposiciones claves para la distribución binomial son:

La probabilidad de éxito ppermanece constante para cada ensayo

Los n ensayos son independientes entre sí

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A(éxito) y su contrario (fracaso).

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de fracaso es 1-p y la representamos por q.

El experimento consta de un número n de pruebas.

La probabilidad de que un

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