Distribución discreta.

VARIABLES ALEATORIAS

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ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD:

El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribución discreta de probabilidad sin importar que esta se represente gráficamente por un histograma, en forma tabular o por medio de una formula. Con frecuencia, las observaciones que se generan en diferentes experimentos estadísticos tienen el mismo tipo de comportamiento en términos generales. De hecho, se necesita solo un puñado de distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas de las variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica.

DISTRIBUCION BINOMIAL[pic 4]

Este proceso se conoce como proceso de Bernoulli.

 Frecuentemente un experimento consiste en ensayos repetidos, cada uno con dos posibles resultados que pueden llamarse éxito o fracaso. 

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Posee 4 propiedades esenciales

1. Las observaciones posibles pueden ocurrir mediante dos métodos de muestreo distintos. Cada observación puede considerarse como seleccionada de una población infinita sin reemplazo o de una población finita con reemplazo.
2. Cada observación puede clasificarse en una de dos categorías mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas, usualmente denominadas éxito o fracaso.
3. La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de observación a observación. Por tanto, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante sobre todas las observaciones.
4. El resultado (es decir, el éxito o fracaso) de cualquiera observación es independiente del resultado de cualquier observación.

El numero X de éxitos en n experimento de Bernoulli recibe el nombre de variable aleatoria binomial, donde sus valores se representan por b(x; n, p), dado que estos últimos dependen del numero de intentos y de la probabilidad de éxito en un intento determinado.

Por ejemplo, la afirmación en una pregunta de verdadero/falso es verdadera o es falsa.

Los resultados son mutuamente excluyentes, lo que significa que la respuesta para una pregunta de verdadero/falso no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.

Ejemplos:

• La probalidad de que una cierta clase de componentes pase con éxito una determinada prueba de impacto es ¾. Encuentre la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.

Solución: suponiendo que las pruebas son independientes y que p= ¾ para cada una de ellas, se obtiene,

                                       B[pic 6]

                                                            = )[pic 7]

                                                            = 27/128

• La genética dice que los hijos reciben de forma independiente los genes de los padres. Si ambos padres tienen un gen del grupo O y otro del grupo A, cada hijo tiene una probabilidad de 0.25 de tener dos enes O y, por lo tanto, de tener sangre del grupo O. el número de hijos con sangre del grupo O Y, por lo tanto, de tener sangre del grupo O. El número de hijos con sangre del grupo O, de entre los cinco que tienen estos padres, es el recuento X de éxitos de 5 observaciones independientes con una probabilidad de éxito de 0.25 en cada observación. Por lo tanto, X tiene una distribución binomial con n= 5 y p= 0.25 [pic 8]

(El parámetro n es el número de observaciones y p es la probabilidad de éxito de cualquier observación. Los valores de X son números enteros positivos que van de 0 a n.

Aplicado a Bioquímica

1. El departamento de bioquímica tiene 8 licenciados auxiliares que se destinan a una misma oficina. Cada licenciado puede estudiar por igual en su casa o en la oficina. ¿Cuántos escritorios deben haber en la oficina para que cada uno tenga por lo menos un escritorio el 90% de las veces?

Solución: La frase de que “pueden estudiar por igual en su casa o en su oficina”, se refiere que estudian en un lugar o en otro, teniendo probabilidad igual cada uno de estos lugares siendo 0.5 en cada caso.

Lo que se quiere saber es con n=8 y p=0.5 cuál es el valor de x que cubre el 90% de las veces, por lo que viendo en la tabla de la distribución binomial acumulada se obtiene:[pic 9]

De tal manera se concluye que debe haber 6 escritorios para que cada uno tenga por lo menos un escritorio el 90% de las veces.

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeometrica son muy similares a aquellos de la binomial, la forma más simple de percatarse de la diferencia entre la distribución binomial y la distribución hipergeometrica, es conociendo la manera de como se lleva a cabo el muestreo. El interés se centra en el cálculo de las probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría particular. Solo que en el caso de la binomial, se requiere la independencia entre intentos. En el cado de la distribución hipergeometrica no requiere independencia y se basa en el muestreo llevado a cabo sin reemplazo. [pic 10]

Las aplicaciones de la distribución hipergeometrica se encuentran en muchas áreas, con un uso considerable en el muestreo de aceptación, las pruebas electrónicas y el aseguramiento de la calidad.

LA FORMULA DE ESTA DISTRIBUCION ES:[pic 11][pic 12]

Donde N es el tamaño de la población, S el número de éxitos en la población; x, el número de éxitos de interés; n, el tamaño de la muestra, y C, una combinación.

EJEMPLOS:

• Lotes de 40 componentes cada uno se consideran aceptables si no contienen más de 3 defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar 5 componentes aleatoriamente y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 defectuoso se encuentre en la muestra si hay 3 defectuosos en todo el lote?

Solución: si se utiliza la distribución hipergeometrica con n=5, N=40, k=3 y x=1, se encuentra la probabilidad de obtener un defectuoso de la siguiente manera.

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